§7. Движение волчка с отклонением оси вращения от вертикали.

§7. Движение волчка с отклонением оси вращения от вертикали.
Если конический волчок расположить под углом к вертикальной оси, то траектория его центра масс S будет иметь удивительный вид, похожий растянутую проволочную спираль (см. рис. 1), причем каждая спиралька соответствует одному обороту волчка вокруг своей оси. Такой характер траектории зависит от того, что возмущающий внешний момент от веса, действующий на волчок и определяемый выражением:
,             (1)
на самом деле будет не постоянным, а будет изменяться в соответствии с нутационным движением волчка, так как будет изменяться угол  a. Изменение угла a можно представить в виде:
,                             (2)
где S - нутационное перемещение, ls - расстояние от точки опоры О до центра масс волчка.
Тогда момент от веса будет определяться выражением:
(3)
Поскольку мы не знаем как изменяется a при движении волчка, неизвестно нам будет и значение момента MG , а это значит, что задачу о нахождении закона движения волчка решить невозможно. Поэтому, чтобы иметь возможность решения данной задачи, нутационное перемещение S представим в виде некой приближенной зависимости:
,                                                                         (4)
где Sm - максимальное отклонение от окружности радиуса rs (см. рис. 1), - угол поворота волчка в пределах одного его оборота.
Тогда значение угла a определится выражением:
,                             (5)
где - максимальное угловое отклонение.
В связи с таким представлением угла a выражение (3) может быть преобразовано следующим образом:

(6)
Расчеты показывают, что при значениях угла am, равных 0,5 радиана и меньше, выражение будет незначительно отличаться от единицы при любых значениях угла j, а выражение будет немного отличаться от выражения , поэтому для упрощения задачи выражение (6)может быть преобразовано к виду:
(7)
Для решения задачи момент MG следует представить в виде двух слагаемых:
;                                                            (8)
,                                          (9)
с помощью которых можно найти силы F1 и F2, приложенные в центре масс волчка и расположенные в плоскости, перпендикулярной к оси его вращения, которые и будут взывать нутацию и прецессию:
;                                              (10)
(11)
На рисунке 2 показана сила F равная сумме сил F1 и F2. Инерционные силы, обусловленные движением центра масс тела и его вращением вокруг собственной оси, определим отдельно для каждой из сил, используя принцип независимости действия сил, так как одна из этих сил - сила F1 - может считаться постоянной, а сила F2 будет изменяться по гармоническому закону. Силы инерции будут рассматриваться в плоскости, перпендикулярной к оси вращения тела . Введем новую систему координат , связанную с телом, которая будет двигаться относительно неподвижной системы XYZ. Как мы знаем, одна из сил инерции будет направлена параллельно оси , а другая параллельно оси , обозначим их соответственно, как и . В начальном положении волчка ось будет совпадать с осью X, а ось отклонена вниз от оси Y на угол a0. Под действием силы волчок начнет совершать колебательное движение вокруг оси , а под действием силы будет вращаться вокруг оси Z, т.е. будет совершать нутационное и прецессионное движения. Оси будут совершать при этом пространственные перемещения относительно выбранной неподвижной системы координат XYZ, причем ось все время будет оставаться в горизонтальной плоскости.
При взаимодействии движения от постоянной силы с вращательным движением тела возникают периодически изменяющиеся силы инерции, определяемые в соответствии с выражениями (4.40) и (4.41):
;                                                      (12)
,                                                      (13)
где сила будет вращать волчок вокруг оси , а сила - вокруг оси Z. Направление движения волчка под действием этих сил показано на рис. 2.
Так как сила изменяется по гармоническому закону, инерционные силы нельзя определять по приведенным выше соотношениям. Поэтому необходимо дополнительно рассмотреть задачу по определению сил инерции, возникающих при гармонически изменяющихся внешних силах, действующих на вращающееся тело:
(14)
или
,                                                                            (15)
где - амплитудное значение силы, - круговая частота изменения силы.
Поскольку эта задача имеет некоторые особенности, рассмотрим ее достаточно подробно. При решении дифференциальных уравнений движения будем иметь в виду, что в начальный момент скорость и перемещение тела равны нулю.
На рисунке 3 показано направление инерционной силы при заданных направлениях вращения тела и силы F. Это направление определит направление результирующей силы инерции . Результирующая сила инерции будет действовать по направлению силы F. В общем случае частота вращения тела и частота изменения силы будут различными.
Рассмотрим сперва движение тела под действием силы, изменяющейся по синусоидальному закону. Уравнение движение в этом случае будет иметь вид:
(16)
Oтсюда находим скорость тела :
(17)
и силу инерции , обусловленную появлением результирующего поля скоростей и поля кинетической энергии, в соответствии с найденными выше выражениями:
(18)
Под действием силы тело приобретает скорость , величина которой может быть найдена из дифференциального уравнения:
,                                        (19)
откуда:
(20)
Эта скорость определит силу инерции :
(21)
Дальнейшие выкладки приведем без комментариев:
;                                               (22)
;                         (23)
;          (24)
;             (25)
;                            (26)
;            (27)
;         (28)
;       (29)
(30)
; (31)
;  (32)
;(33)
и т. д.
В результате получим суммы проекций сил на оси х и у:

(34)


(35)
Обозначим отношение через К и используем выражение для суммы ряда в круглых скобках:
,                             (36)
справедливое при значениях К , меньших единицы. Тогда выражения (34) и (35) преобразуются к виду:

(37)
;

(38)

В формулах (37) и (38) выражения в квадратных скобках представляют разложения в бесконечные ряды синуса и косинуса аргумента . Поэтому указанные формулы примут вид:
;                            (39)
(40)
Эти формулы будут справедливы при К<1, однако их можно использовать и для случая К=1, когда они становятся неопределенными выражениями вида 0/0. Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, получим:
;                     (41)
(42)
Аналогичные выкладки можно произвести, когда действующая на тело сила изменяется по косинусоидальному закону:

В результате получим:
;                        (43)
,                           (44)
где:  
При К=1 выражения (43) и (44) будут иметь вид:
;                                           (45)
(46)
Так как в нашей задаче круговая частота изменения силы равна скорости вращения тела , а сила изменяется по косинусоидальному закону, возникающие силы инерции и следует определять по формулам (45) и (46), где:
(47)
В результате от действия силы возникнут инерционные силы:
;         (48)
(49)
Таким образом, при действии сил и на вращающийся волчок в нем возникнут суммарные инерционные силы:

;                                                                  (50)

,                                                                        (51)
где
Сила вращает волчок относительно оси , сила - вокруг оси Z.
Составим уравнения движения волчка вокруг этих осей:
;                                                                              (52)
,                                                                                (53)
где , - момент инерции волчка относительно оси , - момент инерции волчка относительно оси Z, и - угловые скорости движения волчка относительно осей и Z.
Если же учесть колебания волчка относительно оси , то угол следует увеличить на величину (см. рис 4), т.е. плечо в этом случае будет равно :
(54)
Преобразуем эти выражения с целью нахождения линейных скоростей и в функции угла поворота волчка, направленных вдоль осей и :
;
,
откуда получим:
;                                                                                   (55)
;                                                                                  (56)
где ; и
Учитывая начальные условия при :
; ;;, решим уравнения (55) и (56):
;                                  (57)
;                                           (58)
;                                       (59)
,                   (60)
где;                                                                (61)
;                                                        (62)
;                            (63)
;                    (64)
Используя полученные решения можно найти максимальный угол отклонения волчка :
,                                                                                      (65)
для чего необходимо найти соответствующее значение угла . Поскольку точное значение угла нам не известно, зададимся его приближенным значением, которое можно взять равным (при желании это значение можно потом уточнить). Подставив в формулу (65) значение при , получим:
(66)
где , .
Решим уравнение (66) относительно :
(67)
Для расчета траектории движения центра масс волчка необходимо задаться его конкретными размерами, углом , а также определить его моменты инерции относительно осей и Z.
Для упрощения расчетов рассмотрим волчок цилиндрической формы в виде диска, расположенного на тонкой оси (рис. 5). Для определения момента инерции такого волчка относительно оси воспользуемся теоремой Штейнера. Для этого введем систему координат с центром в точке S, в которой оси являются главными центральными осями инерции (ось направлена на нас). Моменты инерции диска относительно этих осей будут равны (эти выражения можно найти в справочных данных):
;                  (68)
,                                                                                    (69)
где m- масса диска, H и R- его толщина и радиус.
Тогда относительно оси момент инерции определится по формуле:
(70)
Можно отметить, что момент инерции будет равен полярному моменту инерции диска относительно точки 0, так как расстояние постоянно, т.е. . Таким образом этот момент инерции при вращении диска вокруг оси Z не будет меняться.
Момент инерции диска относительно оси Z может быть найден по формулам:
,                                                               (71)
где
;                  (72)
Здесь: - момент инерции диска относительно вспомогательной оси, параллельной оси Z и проходящей через центр масс диска; , и - углы между ось Zпар и главными осями инерции , , , . Для нашего случая 0, =90+, =. Отсюда получаем:
(73)
На рисунке 6 приведены результаты расчетов моментов инерции волчка цилиндрической формы относительно осей и Z с размерами: R=0,05 м, H=0,02 м, =0,05 м.
На рисунке 7 представлены результаты расчетов максимального угла отклонения при выбранных размерах волчка в функции угла .
Различные траектории точки S, полученные по приведенным выше формулам для и и увеличенные в 103 раз, показаны на рисунке 8 для различных значений угла при угловой скорости волчка, равной 30 1/с.
На основании проделанных расчетов можно сделать следующие выводы по поводу траектории движения точки S:
1. Полученные кривые похожи на экспериментальные кривые, приведенные в литературе. Их форма зависит от различных соотношений угла и , а также от соотношения моментов инерции и .
2. С увеличением угла траектории растягивается вдоль горизонтальной оси, мало изменяясь по вертикальной.
3. При значения угла до 450 на траектории точки S имеются “петли“, когда происходит обратное движение волчка, причем относительная величина петель с ростом уменьшается. С увеличением скорости вращения волчка петли уменьшаются или исчезают совсем.
4. Заметно, что в начале цикла движения петли значительно меньше, чем в конце. Это можно объяснить только тем, что при решении задачи были сделаны упрощающие допущения. Эти допущения привели к появлению в формулах членов и , которые растут неограниченно с увеличением . Поэтому приведенные решения будут приближенно справедливы при относительно небольших значениях угла . На рис. 8 показаны вторые циклы движения волчка, когда угол изменяется в пределах от 3600 до 7200, так как на первом цикле сказывается влияние переходного начального момента движения.
5. Приведенное решение еще раз показывает влияние сил инерции на характер движения тела. Эти силы являются результатом взаимодействия прямолинейного и вращательного движений волчка.
Представляется также интересным определение угловой скорости прецессии волчка. Ее можно определить с помощью соотношения:
;                                                                                              (74)
где - средняя скорость движения точки S по горизонтальной окружности .
Среднюю скорость найдем по формуле:

(75)
Подставив значения , и в выражения (74) и (75), найдем среднюю угловую скорость прецессии волчка вокруг оси Z:
(76)
На рис. 9 показана зависимость скорости прецессии волчка от угла и угловой скорости вращения волчка для рассматриваемого нами примера.