§5. Гироскопический эффект при боковом повороте вращающегося цилиндра.

§5. Гироскопический эффект при боковом повороте вращающегося цилиндра.
Известно, что если цилиндр, вращающийся вокруг оси X (рис .1) поворачивать вокруг оси Z, возникает реактивный момент My, который будет поворачивать цилиндр вокруг оси Y. Существует теория гироскопа, которая объясняет этот эффект. Мы же, дадим другое, более наглядное объяснение, исходя из наличия неоднородных полей кинетической энергии, возникающих при од-новременном вращении цилиндра вокруг осей X и Z (рис. 2).
При вращении цилиндра вокруг оси X, поле скоростей симметрично относительно оси вращения (см. рис. 1). Поэтому на все частицы цилиндра будут действовать только радиальные центробежные силы инерции, уравновешивающие друг друга в объеме тела. В осевом направлении поле скоростей будет однородным, поэтому в этом направлении никаких сил инерции действовать не будет.
При дополнительном повороте цилиндра вокруг оси Z линейные скорости частиц цилиндра от обоих вращений будут векторно складываться, в результате чего поля скоростей 1 и 2 изменятся как по длине цилиндра Н, так и по радиусу R. Мгновенные центры скоростей полей 1 уже не будут лежать на оси вращения цилиндра X , за исключением поля, лежащего в плоскости, проходящей через центр масс цилиндра - точку S. По отношению к этой плоскости на переднюю часть цилиндра в связи с несимметричностью полей скоростей по отношению к оси X цилиндра будет действовать радиальная сила , направленная вверх, а на заднюю часть цилиндра - радиальная сила , направленная вниз.
Поля скоростей 2 при дополнительном вращении цилиндра вокруг оси Z уже не будут однородными, поэтому на частицы цилиндра будут действовать силы инерции и в осевом направлении - и .
В результате на цилиндр будут действовать два инерционных момента, направленных в одну и туже сторону. На рисунке 2 они условно представлены парами сил и . Как видно, результирующий момент будет вращать тело вокруг оси Y. Направление инерционных сил и определялось по изложенному выше правилу: силы инерции всегда противодействуют возмущающим силам. Так, до вращения тела вокруг оси Z все линейные скорости по образующей цилиндра были одинаковы, поле скоростей однородно, а их мгновенный центр Pv находился в бесконечности. Поскольку вращение вокруг оси Z переместило точку Pv из бесконечности ближе к телу, возникшая сила инерции будет стремиться удалить цилиндр от приблизившегося мгновенного центра скоростей, поэтому момент от сил относительно оси Y будет направлен по часовой стрелке. Что касается радиальных сил инерции , то здесь будет иметь место другая картина: мгновенные центры скоростей, лежащие на оси X , удаляются от нее при вращении тела вокруг оси Z. Инерционная сила противодействия будет препятствовать этому движению, при-ближая центры масс сечений, перпендикулярных к оси X, в направлении к новым положениям мгновенных центров скоростей, поэтому инерционный момент от сил относительно оси Y также будет направлен по часовой стрелке.
Найдем теперь величину этих инерционных моментов. Рассмотрим сперва поля скоростей в плоскостях, перпендикулярных оси Z (рис. 3). На рисунках показана проекция окружной скорости цилиндра на горизонтальную плоскость, перпендикулярную оси Z:
(1)
То же самое будет и для любой другой точки, лежащей на той же плоскости с произвольным радиусом r:
;                                        (2)
т.е. все точки одной и той же плоскости будут иметь одинаковые линейные скорости Vпл , лежащие в этой плоскости и обусловленные вращением цилиндра вокруг оси Z.
В результате сложения линейных скоростей Vпл со скоростями вращательного движения цилиндра относительно оси Z возникнет неоднородное поле скоростей VS:
(3)
с мгновенным центром в точке Pv (см. рис. 3,в), где скорость Vпл играет роль скорости V0 прямолинейного поступательного движения.
Для расчета силы инерции в осевом направлении выделим элементарную массу dm толщиной dZ, расположенную в горизонтальном направлении на расстоянии Z от оси вращения X (см. рис. 3,б). Силу инерции, действующую на эту элементарную массу, найдем в соответствии с формулой (4, 32):
,                                                               (4)
где
(5)
Здесь мы использовали для прямоугольной фигуры формулу. полученную для круга. Дело в том, что прямоугольник является фигурой, симметричной относительно осей X и Y, и для любой его точки можно найти симметричную ей точку по отношению к центру сечения (точка О). Очевидно, такой же вывод можно сделать и для любой несимметричной фигуры, если скорость прямолинейного поступательного движения V0 относить к ее геометрическому центру, а для тела в целом - к его центру масс.
Имея в виду, что , , и учитывая выражение (5), найдем элементарный момент, создаваемый парой сил dFос относительно оси Y:
(6)
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до R, найдем суммарный момент от осевых сил инерции по всему объему тела:

(7)
где масса цилиндра m определяется выражением:
(8)
Теперь рассмотрим поля скоростей в плоскостях. перпендикулярных к оси X (рис. 4).
Разобьем
цилиндр на элемен­тарные массы dm по его дли­
не Н (см. рис. 4,б):
(9)
Для каждой из этих цилиндрических масс результирующее поле скоростей будет складываться из окружных скоростей при их вращении вокруг оси X и линейных скоростей Vпл , возникающих при вращении цилиндра вокруг оси Z (см. рис. 4,а), причем:
,                                                                     (10)
где
Силы инерции, действующие на эти цилиндры элементарной длины, определяются уже известным нам способом:
,                                            (11)
момент которых относительно оси Y будет равен:
(12)
Интегрируя это выражение получим:
(13)
В итоге суммарный инерционный момент относительно оси Y, представляющий собой, так называемый, гироскопический эффект, будет равен:
(14)
Если учесть, что момент инерции цилиндра относительно осей Z и Y определяется выражением:
;                                                   (15)
выражение для результирующего инерционного момента примет вид:
(16)
Таким образом, получается, что вращение тела одновременно вокруг двух взаимно перпендикулярных осей приводит к появлению реактивного момента относительно третьей оси.
Формулу (16) можно представить в виде:
,                                                                                       (17)
где - угловое ускорение, которое в векторной форме определяется выражением:
(18)
Рассмотрим теперь движение цилиндра с учетом инерционного момента, считая, что поворот цилиндра вокруг оси Z с угловой скоростью происходит за счет удара (рис. 5). Используя модуль углового ускорения:
,                        (19)
найдем угловую скорость вращения цилиндра вокруг оси Y при нулевых начальных условиях:

,                                                          (20)
где постоянная интегрирования С равна нулю.
При свободном движении цилиндра в отсутствии связей его поворот вокруг оси Y в сочетании с вращением вокруг оси Z приведет к появлению новых неоднородных полей скоростей и полей кинетической энергии, результатом чего будет инерционный момент , величина и направление которого могут быть найдены, так же, как и момент My :
;                                            (21)
где модуль углового ускорения определяется выражением:
(22)
Направление моментаи углового ускоренияпоказаны на рисунке 5. Угловую скоростьнайдем интегрированием выражения (21):
(23)
Затем вращение цилиндра с угловой скоростью совместно с вращением вокруг оси X приведет к появлению нового инерционного момента:
,                                   (24)
где угловое ускорение равно:
;                                                                            (25)
Направление момента показано на рисунке 5.
Интегрируя выражение (25), находим угловую скорость :
(26)
Таким же способом находим далее момент :
(27)
И так далее.
В результате получаем суммы инерционных моментов относительно осей Y и Z:
(28)
;    (29)
Таким образом, при сообщении свободному цилиндру вращения вокруг оси Z с помощью удара на него будет действовать два инерционных момента, определяемые выражениями (28) и (29), в результате чего цилиндр будет двигаться по определенному закону относительно осей Y и Z.
Для определения характера этого движения составим дифференциальные уравнения движения:
;                                (30)
(31)
Знак минус во втором уравнении поставлен потому, что инерционный момент SМz действует против начальной угловой скорости .
Дважды интегрируя выражения (30) и (31), найдем угловые скорости и и углы поворота цилиндра jy и jz:
;                    (32)
;                 (33)

;                                                                       (34)
,                                           (35)
где постоянные интегрирования определяются из начальных условий: =0, =; jy=0; jz=0; при t=0, и соответственно равны:
;; ;
Как следует из выражений (32) и (33) результирующая угловая скорость вращения цилиндра wS будет равна по модулю:
,                                                                (36)
а вектор этой скорости будет вращаться в плоскости X-Z от оси Z к оси X с угловой скоростью wx , причем ось Х тоже будет поворачиваться.
На рисунке 6 показано движение диаметра цилиндра АВ, находящегося сперва в горизонтальном положении по отношению к неподвижным осям X,Y,Z. На рисунке показаны положения диаметра АВ, ,и , соответствующие углам поворота отдельно вокруг осей Z, Y и X. Действительное же положение диаметра по истечении некоторого времени будет .
Так как движение цилиндра вокруг осей Y и Z будет неравномерным, на него потребуются затраты энергии, которые можно найти по известным формулам:

;                                                                     (37)

(38)
Суммарные затраты энергии будут равны:
;                                            (39)
Как следует из полученного выражения, на работу инерционных сил затрачивается энергия вращения тела вокруг оси Z, т.е. энергия первоначального удара . Приравняв эту энергию суммарной работе, можно найти угол, на который повернется цилиндр после удара:
;                                                       (40)
откуда
;                             
Тогда углы поворота тела jy и jz в соответствии с формулами (34) и (35) будут равны:
(41)
;                                                 (42)
Рассмотренные нами гироскопические эффекты подтверждаются экспериментально.