§3. Осевые силы во вращающихся телах

Все мы когда-нибудь крутили волчки, любовались их движением, пытались понять, почему они не падают сразу, а некоторые даже переворачиваются, вставая на ножку и поднимая при этом свой центр тяжести.
На движение волчков влияет ряд факторов, связанных с действием сил инерции, возникающих при их вращении.
Рассмотрим сперва влияние осевых сил и причины их появления. Возьмем обычный волчок конической формы (рис. 1). При вращении волчка вокруг вертикальной оси все его точки будут иметь определенные линейные скорости, равные произведению угловой скорости его вращения на кратчайшее расстояние до оси вращения. Поле скоростей внутри волчка будет иметь форму треугольника, расположенного в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (на рисунке оно обозначено цифрой 1). Максимальная линейная скорость Vокр при этом будет равна:
(1)
где w - угловая скорость вращения волчка, R - радиус основания конусов.
Однако, указанное поле скоростей не будет единственным в объеме волчка (не считая, конечно, полей в параллельных плоскостях). На рисунке 1 показаны еще два поля скоростей 2 и 3 относительно вершин волчка - точек А и В, имеющих такую же линейную окружную скорость Vокр, что и поле 1.
Наличие неоднородных полей скоростей приводит к появлению неоднородных полей кинетической энергии и соответствующих сил инерции. Если в области точки С выделить элементарную массу dm, то на нее, благодаря наличию трех указанных полей кинетической энергии, будут действовать три силы инерции - , и - по направлениям R, l1 и l2. Очевидно, что сила инерции будет обычной известной нам центробежной силой инерции. Слово “обычной” автор употребляет в том смысле, что мы знаем о ее существовании, хотя и не все уверены в ее реальности. Несомненно, что для тела симметричной формы относительно оси вращения все центробежные силы будут уравновешиваться, поэтому они не окажут никакого влияния на движение тела. Что же касается сил и , то они до сих пор не были известны. Поскольку оказывается, что они существуют, необходимо выяснить, какое влияние они будут оказывать на движение тела в целом. Для этого надо просуммировать по объему тела силы инерции, действующие на все его элементарные частички, причем сделать это следует в проекциях сил на ось вращения тела и на направление к ней перпендикулярное. В перпендикулярном к оси направлении составляющие сил инерции и станут одной и той же силой инерции , в осевом же направлении их составляющие будут противодействовать друг другу, но будут ли они взаимно уравновешиваться еще не известно.
Для выяснения этого вопроса найдем сперва силы инерции, действующие на каждую частичку тела в направлении поля кинетической энергии (рис. 2) с помощью формулы:
,                                                                            (2)
где
;                                                                                   (3)
,                                                              (4)
так как
Используя соотношения (3) и (4), получим:
(5)
В осевом направлении проекция силы будет равна:
(6)
Чтобы найти результирующую осевую силу от второго поля кинетической энергии, надо просуммировать все элементарные осевые силы инерции по объему всего тела, для чего следует выразить элементарную массу через ее плотность r и геометрические параметры (см. рис. 2):
(7)
Подставив значение массы dm в выражение (6), преобразуем его к виду:
(8)
Интегральная осевая сила инерции определится выражением:
,                                  (9)
где – верхний предел интегрирования по параметру .
Для взятия интеграла (9) необходимо найти его верхний предел с помощью треугольника АВС, стороны которого будут равны: АВ = H= H1+H2, где H1 иH2 - высоты двух конусов, имеющих общее основание, , где может быть найдена с помощью теоремы синусов:
(10)
а угол определяется соотношением:
(11)
где - текущее значение угла .
Учитывая, что синус угла определяется выражением:
(12)
а верхний предел интегрирования будет равен:
(13)
возьмем сначала интеграл:
(14)
Следующим возьмем интеграл:
(15)
С помощью подстановки преобразуем его к виду:




(16)
Взяв последний интеграл:
;                                                                               (17)
найдем выражение для результирующей осевой силы:
,                                (18)
где множитель D представляет собой выражение (16), деленное на , т.е.
;                                                                            (19)
Осевую силу инерции относительно точки В определим аналогичным образом. В результате получим:
;                  (20)
где
(21)
Разность осевых сил будет равна:

(22)
Преобразуем выражение (22), введя в него массу волчка:
,      (23)
где , в результате получим:

(24)
На рисунках 3 и 4 представлены результаты расчета отношения в функции углов и , причем положительные значения этого отношения означают, что результирующая осевая сила направлена вверх, отрицательные - вниз. Результаты получились, надо сказать, трудно предсказуемыми и требуют экспериментальной проверки.
Еще больший интерес представляет движение волчка - перевертыша, носящего название “тип-топ” (рис. 5) . Этот волчок при раскручивании его вокруг оси симметрии с опорой на сферическую поверхность быстро переворачивается и продолжает вращаться, опираясь уже на ножку, хотя его центр тяжести при этом поднимается. Так как направление вращения волчка после переворота остается тем же, значит при перевороте происходит смена направления вращения волчка отно
сительно оси его симметрии.
Имеются различные объяснения этого явления [3, с. 76-78], [4, с. 189-193]. Нами прелагается следующее объяснение, основанное на существовании осевой неуравновешенности вращающегося волчка.
Как видно из рисунка 6 при расчете осевых сил, действующих в точке А, волчок можно представить состоящим из двух фигур: конуса и усеченной сферы с коническим углублением.
Осевую силу для конуса можно найти с помощью интеграла (9), в котором предел интегрирования будет определяться выражением:
(25)
Тогда интегралы в выражении (9) будут равны:
;                                            (26)

;
;                                                                                                             (27)
а осевая сила, действующая в вертикальном направлении, определится выражением:
;                        (28)
Найдем теперь осевую силу для усеченной сферы с коническим углублением. Элементарная сила инерции определяется выражением, аналогичным выражению (5):
,                                            (29)
где
;                                                                  (30)
а l изменяется в пределах от 0 до . Величину находим с помощью теоремы косинусов:
,                          (31)
откуда получим:
,                                                               (32)
так как .
В результате для сферической части осевая сила, направленная вверх, определяется выражением:
;                               (33)
В точке В на волчок будет действовать осевая сила, направленная вниз (см. рис. 7). Величина этой силы определяется интегралом:
,                      (34)
где находится с помощью теоремы косинусов:
(35)
В выражении (35) - высота шарового сегмента, дополняющего усеченную сферу до полной,

Угол определяется с помощью теоремы синусов:
,                                                                              (36)
откуда

,                                                        (37)
Таким образом, верхний предел интегрирования будет равен:
(38)
Интегрируя выражение (35), получим:


,                    (39)
Значение интеграла в выражении (39) может быть найдено численными методами.
Для упрощения вычислений преобразуем выражение осевых сил, отнеся их к весу полного шара, т.е. поделив их на. В результате для осевой силы, действующей на конус вверх, получим:
,                          (40)
Имея в виду, что и , найдем:
(41)
Для усеченного шара с коническим углублением будем иметь:
(42)
Для усеченной сферы сила, действующая вниз, будет определяться выражением:

(43)
Результаты расчетов суммарного коэффициента в функции отношения представлены на рисунке 8.
В качестве наглядного примера, характеризующего действие осевых сил на волчок, “тип-топ”, возьмем волчок с конкретными размерами: , , , .
Угол определим из соотношения:

,                                                                            (44)
где
(45)
При выбранных размерах угол будет равен 30°, коэффициенты К будут иметь значения:

;                           (46)

;                                            (47)

(48)
В результате на волчок будет действовать осевая сила, направленная вверх и равная:
(49)
При запуске волчка его ось симметрии будет обязательно отклоняться от вертикали на какой-то пусть и небольшой угол (рис. 9). Поэтому относительно точки опоры осевая сила создаст опрокидывающий момент, ему же будет противодействовать суммарный момент от весa усеченного шара и веса ручки. Их суммарный вес будет равным:


(50)
Для определения момента от веса волчка необходимо найти координаты его центра масс. Для усеченного шара без ручки получим:
,   (51)
координата центра масс ручки будет равна .
Координата общего центра масс определится выражением:
(52)
Уравнение моментов от действующих сил будет иметь вид:
,                                                              (53)
где
Подставив значения сил в выражение(53), получим:

(54)
С помощью выражения (54) определим минимальное значение угловой скорости вращения волчка, при которой моменты сил будут равны:

Если учесть, что часть энергии вращения волчка тратится на подъем его центра масс, начальная скорость вращения получается достаточно большой, хотя и достижимой. Уменьшить можно или путем увеличения радиуса шара или путем уменьшения его веса, сделав его полым, что практически и делается при изготовлении этой игрушки.
Сделаем расчет для полого волчка “тип-топ” (рис. 10), который можно представить как “разность” двух усеченных шаров. Радиус внутреннего шара примем равным 0,9, другие размеры определятся соотношениями: ,. Для внутреннего шара угол при вершине конуса определится соотношением:
,                                                                            (55)
где
,                         (56)
откуда:

Затем из осевых сил, действующих на внешний шар, вычтем осевые силы, действующие на внутренний шар. Коэффициент для осевой силы, действующей на внутренний конус и отнесенной к весу меньшего шара радиуса , будет равен:

(57)
По отношению же к весу сплошного большого шара коэффициент будет иметь значение:
(58)
Коэффициент для меньшей усеченной сферы с коническим углублением, отнесенный к весу большого шара, будет равен:

(59)
Коэффициент для меньшей усеченной сферы, отнесенный к весу большого шара, будет равен:
,                                                             (60)
В результате осевая сила, действующая на полый волчок и направленная вверх, будет меньше на величину:
,  (61)
т.е. будет равна:
(62)
Центр же масс всего волчка, как показывают расчеты, при длине ручки будет находиться почти в центре сферы. Поэтому будет достаточно значительно меньшей скорости вращения волчка, чем в случае сплошного шара. Очевидно размеры ручки и ее масса подбираются опытным путем так, чтобы общий центр масс находился немного ниже геометрического центра сферы. Пусть его смещение будет равно 0,01. Имея ввиду, что общий вес волчка равен примерно 0,28 , получим:
,                             
т.е. значительно меньше, чем для сплошного волчка. Так как часть кинетической энергии будет затрачено на подъем центра тяжести волчка, найдем с учетом этого необходимую начальную скорость его вращения с помощью выражения:
,                                                                                           (63)
где
;                                                                                     (64)
(65)
Момент инерции волчка относительно оси симметрии для полого волчка составляет, примерно 40% от момента инерции сплошного волчка, который находится по формуле:
(66)
В результате из выражения (63) получим:
,                (67)
откуда:
;
и

Следует отметить, что действительная картина движения волчка будет достаточно сложной. Ее можно представить следующим образом (рис. 11). Пусть волчок вращается вокруг оси Z с угловой скоростью в направлении часовой стрел­ки (так его удобнее раскручивать). В резу­льтате этого вращения, как мы только что показали, возникает осевая неурав­но­ве­шен­ная сила , направленная в поло­жи­тельном направлении оси Z. При ма­лей­шем отклонении оси Z от вертикаль­ного положения, что всегда имеет место при раскручивании волчка, осевая сила создаст переворачивающий момент от­носительно точки - точки каса­ния волчка с поверхностью опоры. Под действием этого момента волчок начинает вращаться вокруг оси x по часовой стрелке с угловой ско­ростью . В результате вра­ще­ния волчка вокруг осей Z и X поле ско­ро­с­тей внутри волчка станет несим­мет­ричным относительно оси Z, всле­дст­вие чего появится сила инерции , направленная вдоль оси X, момент которой будет вращать волчок вокруг оси Y с угловой скоростью . Аналогичная картина будет рассмотрена нами более подробно в параграфе 5 на примере тела цилиндрической формы.
Дальнейшие рассуждения поясним с помощью рисунка 12. В соответствии с законом сох­ранения момента импу­ль­са при вращении волчка вок­руг осей Y и Z и при допущении равенст­ва моментов инер­ции волчка отно­ситель­но этих осей, можно счи­тать, что векторная сумма угло­вых скорос­тей и будет равна вектору начальной угловой ско­рости вол­чка , рас­поло­же­н­ному вер­ти­кально (см. рис. 12а). Когда вол­чок займет поло­жение, показанное на рис. 12б, угло­вая ско­рость волчка отно­си­тель­но его оси сим­мет­рии будет рав­на нулю, по­э­тому он будет вра­щаться толь­ко вокруг вертикальной оси т.е. . В этот момент осевая сила будет равна нулю, дальнейшее же вращение волчка по направлению может происходить только по инерции, причем для этого будет достаточно самого незначительного его отклонения от указанного положения. В результате снова появится инерционный момент (см. рис. 12в), который будет раскручивать волчок в ту же сторону, в какую он вращался первоначально, причем геометрическая сила угловых скоростей и будет немного меньше начальной скорости за счет потерь энергии на трение и подъем центра тяжести волчка. Когда центр тяжести волчка займет верхнее положение (рис. 12г), это положение будет устойчивым, так как снова возникающая осевая сила будет направлена вниз и при любом случайном отклонении центра тяжести от вертикали момент осевой силы будет направлен в сторону, противоположную моменту от веса, что заставит волчок вернуться к исходному положению. Описанная нами картина движения волчка подтверждается экспериментально [3].