§ 10. Движение планет вокруг Солнца

Движение планет в пространстве можно представить в виде совокупности двух движений: поступательного движении относительно Солнца и вращательного движения вокруг своей оси.то, что движение планет вокруг своей оси является вращательным ни у кого никаких сомнений не вызывает. Сложнее обстоит дело с поступательным движением. Причиной такого движения является то обстоятельство, что оси вращения планет при их движении вокруг Солнца практически не меняют своего положения в пространстве, т.е. планеты ведут себя как устойчивые волчки. Поэтому мы и видим Полярную звезду всегда на одном и том же месте, а звезды в течение суток вращаются вокруг нее (что обусловлено вращением Земли вокруг своей оси). Интересно выяснить, какова причина такого положения: или это обусловлено гироскопическим эффектом или есть еще какие-то другие обстоятельства, удерживающие оси вращения планет  в одном и том же положении в пространстве.
Рассмотрим сущность поступательного движения планет. Для начала возьмем простую механическую систему, состоящую из рычага 1 и тела симметричной формы 2, шарнирно соединенного с рычагом в точке (рис. 1). Рычаг вращается вокруг точки О с угловой скоростью . Чтобы тело 2 совершало поступательное движение, необходимо сообщить ему угловую скорость, равную по величине угловой скорости , но противоположную по направлению. Тогда любой отрезок тела 2, например, ОА, будет перемещаться при вращении рычага параллельно самому себе, скорости же и ускорения  всех точек тела будут одинаковы и равны скорости и ускорению рычага в точке . Эти положения известны из механики как результат сложения двух вращательных движений, направленных в разные стороны. Для большей ясности изложения дадим краткое объяснение этому обстоятельству. Движение точки А в этом случае можно рассматривать состоящим из двух движений: переносного вращательного вокруг точки О и относительного вращательного вокруг точки . Тогда скорость точки А определится векторным уравнением:
,                                                                                    (1)
где - переносная скорость точки А, - относительная скорость точки А, - расстояние между точками А и О, r- расстояние от точки А до точки О1. Результирующая скорость показана на рисунке 1,б. Величина ее может быть найдена с помощью теоремы косинусов:
(2)
Подставив значения скоростей и в уравнение (2) получим:
(3)
Выражение в скобках в формуле (3) в соответствии с теоремой косинусов представляет собой квадрат длины рычага R (см. рис. 1,а). Поэтому выражение (3) может быть представлено в виде:
,
откуда следует:
(4)
Полученный результат показывает, что скорости всех точек тела 2 при его движении в пространстве вместе с рычагом будут одинаковыми и равными скорости точки рычага. Так как скорость рычага в точке поворачивается при его вращении, то и скорости всех точек тела также будут поворачиваться вместе с рычагом, располагаясь к нему перпендикулярно.
Ускорение точки А определится векторным уравнением:
,                                                                           (5)
где - переносное ускорение, - ускорение в относительном движении, кориолисово ускорение.
Сложение ускорений в соответствии с формулой (5) показано на рис. 1,в. Величина результирующего ускорения точки А может быть найдена с помощью теоремы косинусов:
(6)
откуда
,                                                                                         (7)
что соответствует ускорению рычага в точке при его вращении вокруг точки О. Таки образом, и ускорения всех точек тела 2 также, как и скорости, будут одинаковыми.
Такое движение второго тела будет аналогично движению шатуна () в механизме шарнирного параллелограмма, показанного на рисунке 1,а, у которого длины и , ОА и попарно равны. В таком механизме звенья и вращаются с одинаковой угловой скоростью вокруг точек О и , а шатун совершает поступательное движение, имея одинаковые скорости и ускорения для всех своих точек. Отсюда получается, что поступательное движение тела 2 можно рассматривать как совокупность вращательных движений для всех его точек относительно различных центров вращений, совокупность которых, в свою очередь, образует по форме фигуру, представляющего точную копию второго тела.
Из приведенных рассуждений можно было бы сделать вывод, что поступательное движение планет относительно Солнца нельзя считать вращательным движением, поскольку нет единого центра, относительно которого это вращение происходило бы. Такой вывод следует из законов кинематики. С динамической же точки зрения можно прийти к другому выводу. Так как равнодействующая всех сил инерции, действующих на точки второго тела, будет приложена к его центру масс, в данном случае в точке , то движение второго тела можно считать вращательным вокруг точки О, имея в виду, что его масса будет как бы  сосредоточена в точке . Такое представление никак не будет противоречить характеру движения второго тела, а, следовательно, и движению планет вокруг Солнца.  Правда, при движении планет вокруг Солнца есть одно существенное отличие от движения тела 2, представленного на рис. 1. Это отличие заключается в том, что расстояние планет от Солнца не остается постоянным, поскольку планеты движутся по эллиптическим орбитам. Тогда можно ли в таком случае считать это движение вращательным? Вопрос серьезный. Дело в том, что до настоящего времени нет четкого определения, какое движение можно считать вращательным. Интуитивно, мы, вроде, понимаем, что такое вращение, при серьезном же анализе оказывается, что мы этого не знаем. Посмотрим, что об этом сказано в физической энциклопедии [8,с.338]: “Вращательное движение твердого тела - 1)В.д. вокруг неподвижной оси- движение твердого тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения... 2)В.д. вокруг точки (или сферическое движение)- движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку...”
В приведенной цитате говорится только о вращении твердого тела, значит, жидкость или газ, по определению, вращаться не могут. В это трудно поверить. Дальше утверждается, что все точки твердого тела описывают окружность, т.е. предполагается, что все тело является абсолютно жестким. Но таких тел в природе не существует. Поэтому при вращении твердого тела с переменной угловой скоростью в пределах одного оборота точки тела будут описывать не окружности, а более сложные кривые за счет деформации тела. Особенно наглядно такой характер движения наблюдался бы при вращении гири, закрепленной на пружине, с переменной угловой скоростью, так как величина колебаний гири относительно среднего уровня могла бы достигать больших значений. Затем возникает вопрос: а может ли вращаться точка? Если считать, что все тела состоят из совокупности точек, то, очевидно, может, хотя существует мнение, что поскольку точка это все-таки не тело, то вращаться она не может, а может только двигаться по окружности, хотя в чем тут будет принципиальное отличие не понятно. В общем, ясно, что приведенное определение вращательного движения имеет кинематический характер. По нашему мнению, более правильное и более точное определение вращательному движению может быть дано только с позиций динамики. Действительно, при любом вращении имеется силовое взаимодействие между частицами вращающегося тела, что приводит к появлению центробежных сил инерции, направленных в радиальном направлении. Наличие этих сил говорит о вращательном движении, даже если любая движущаяся частица не совершает полного оборота и движется не строго по окружности.
Если вращательное движение определять таким образом, то движение тела 2 в рассмотренном примере относительно точки нельзя считать действительно вращением, так как здесь нет центростремительного ускорения (и сил) относительно этой точки. К тому же второе тело по отношению к неподвижной системе отсчета не поворачивается, вследствие чего скорости и ускорения всех его точек будут одинаковыми и равны скорости и ускорению точки . Поэтому движение второго тела можно считать вращательным только для его центра масс, т.е. точки , поскольку результирующие центростремительная и центробежная силы приложены в этой точке. Значит, и по отношению к планетам можно сделать такое же заключение.
Остался, правда, для планет открытым один вопрос: почему они совершают поступательное движение в пространстве? Для решения этой проблемы снова вернемся к примеру с рычагом. При рассмотрении этого примера мы просто постулировали, что тело 2 вращается относительно рычага в обратную сторону, но почему это происходит мы не выясняли. Конечно, второе тело можно заставить вращаться относительно рычага принудительно, например, с помощью отдельного двигателя, ось вращения которого совпадал бы с точкой. Ну, а что, интересно, произойдет, если тело 2 будет просто свободно размещено на оси, шарнирно связанной с рычагом и при отсутствии трения в этом шарнире? Для выяснения этого вопроса представим себе, что мы привели рычаг в движение из неподвижного состояния. Тогда в силу того, что он придет во вращение относительно точки О, все точки тела 2 должны были бы двигаться по окружностям, имеющим общий центр в точке О, с линейными скоростями:
,                                                                                           (8)
где - расстояние от точки О до любой точки тела 2.
Однако, поскольку рычаг может воздействовать на второе тело только в точке , то и скорость всем его частицам он может сообщить только в соответствии с этим воздействием, т.е. . Для точек тела 2 , лежащих ближе к точке О, чем точка , эта скорость будет больше необходимой, а для более удаленных, наоборот, меньше (см. рис. 2). В результате внешние точки тела 2 (точка В) будут отставать от возможного вращательного движения вокруг точки О, а внутренние (точка ) будут опережать возможное вращательное движение вокруг точки О, вследствие чего тело 2 как бы получит вращательный импульс вокруг точки в сторону противоположную вращению рычага, а может, лучше сказать, что недополучит импульс вращения от рычага, вследствие чего вращение тела 2 относительно неподвижной системы отсчета не будет. Скорость этого относительного вращения определяется выражением:
;          (9)
т.е. угловая скорость в относительном движении будет точно равна по величине скорости вращения рычага, но направлена в противоположную сторону.
Тот же самый эффект будет иметь место и при вращении планет вокруг Солнца с той лишь разницей, что роль рычага сыграло какое-то начальное движение в касательном направлении, а искривление траектории происходит за счет сил тяготения. Сила тяготения, действующая на планеты не может обеспечить их вращательное движение вокруг Солнца, так как она уменьшается с удалением от Солнца, она обеспечивает только существующую окружную скорость движения планет по их орбитам, которая является средней скоростью  по отношению к возможным скоростям для всех точек в объеме планет, допускаемых существующими силами тяготения в этих точках, поскольку планеты движутся как единое целое тело. Для удаленных точек планет эта средняя скорость будет меньше скорости при возможном вращательном движении планет вокруг Солнца, для точек же лежащих ближе к Солнцу, средняя скорость будет больше. В результате планеты будут совершать поступательное движение относительно Солнца, а их оси вращения занимать неизменное положение в пространстве. Как видим, неизменное положение осей планет в пространстве обусловлено характером их взаимодействия с Солнцем, а вовсе не гироскопическим эффектом, для существования которого скорости вращения планет вокруг своих осей слишком малы.
Таким образом можно считать, что Земля и другие планеты вращаются вокруг Солнца. Это обстоятельство и будет использовано для расчета их орбит.
Во вращательном движении планет вокруг Солнца на них будут действовать сила тяготения и центробежная сила инерции, которые будут уравновешиваться на некоторой средней окружности радиуса (см. рис. 3). Для составления уравнения движения планеты рассмотрим ее движение по отношению к среднему положению. При отклонении планеты от среднего положения на величину радиального перемещения у на нее будет действовать результирующая сила , направленная к Солнцу:
,                                          (10)
где m- масса планеты, М- масса Солнца, - касательная скорость перпендикулярная к радиусу r, G- гравитационная постоянная, равная 6,67210-11 Нм2/кг2.
Выразим силы и через их средние значения на окружности радиуса , для чего используем закон сохранения импульса. Так как:
(11)
и
,                                                                                              (12)
получим:
(13)
где - касательная скорость в среднем положении.
Дифференциальное уравнение движения в радиальном направлении будет иметь вид:
,                                        (14)
так как сила инерции будет меньше силы тяготения.
Имея ввиду, что , преобразуем уравнение (14) к виду:
(15)
Таким образом, мы получили нелинейное уравнение второго порядка. Общий вид этого уравнения характеризуется выражением [9, с.581]:
,                                                                                 (16)
где
,                                                           (17)
которое подстановкой сводится к уравнению Бернулли [9, с.41]:
,                                                           (18)
где - радиальная скорость движения планеты.
Полагая , получим дифференциальное уравнение вида , решением которого будет выражение [9, с.38]:
,                                                                  (19)
где в качестве выбираем значение , соответствующее минимальному значению радиуса, при котором скорость и, следовательно, будут равны нулю.
Взяв интеграл в выражении(19):

,
найдем скорость :
(20)
При удалении планеты от Солнца значение корня берется с положительным знаком, при приближении с отрицательным.
Так как , получим:
,                                                                                       (21)
откуда:

(22)
Используя граничное условие при , получим:
(23)
и
(24)
Для приведения формулы (24) к более удобному для расчетов виду произведем ряд преобразований. Сперва поделим каждый член этой формулы на выражение:
,
в результате чего после некоторых преобразований получим:
(25)
Выражение (25) может быть представлено в виде:
(26)
или таким образом:
(27)
Выражение в квадратных скобках обозначим через :
(28)
откуда получим:
(29)
или:
(30)
Используя выражение (28), определим время :
(31)
Для дальнейших преобразований скорость заменим выражением:
,                                                                             (32)
где - время движения планеты по средней орбите. В результате выражение (31) примет вид:
(33)
Формула (33) будет справедлива только для участка удаления планеты от Солнца, при приближении к Солнцу необходимо учесть, во-первых, другой знак перед квадратным корнем, а во-вторых,  что выражение (30) при вычислениях с помощью ЭВМ определяет значение только в пределах от 0 до 1800. Поэтому для участка приближения формула для расчета времени движения должна иметь вид:
(34)
С помощью выражений (33) и (34) устанавливается связь между положением планеты y и временем ее движения при некотором среднем значении времени обращении вокруг Солнца, которое отличается от действительного времени обращения Тд. Определение величины будет рассмотрено ниже.
Необходимо также установить связь между радиальным и угловым перемещениями планеты.
Дифференциальное уравнение вращательного движения получим, используя закон сохранения момента количества движения:
,                                                              (35)
откуда будем иметь
,                     (36)
где
(37)
Подставляя значение , найденное выше и интегрируя выражение (36), получим:
(38)
Интеграл (38) является табличным [10, с. 102-103].
Чтобы его взять сделаем подстановку:
,                                                                                         (39)
в результате чего он преобразуется к виду:

(40)

Постоянную интегрирования определим, используя начальные условия: при :
(41)
В результате получим:
(42)
откуда будем иметь:
(43)
или:
(44)
В результате мы получили уравнение, устанавливающее связь между у и угловым перемещением .
Выражение (44) можно также представить в виде:
(45)
Поскольку минимальное значение косинуса равно (-1) при , из выражения (44) найдем соотношение:
,                                                                   (46)
из которого получим:
(47)
Из этого выражения следует, что при значение будет равно бесконечности. На рис. 4 представлена графическая зависимость отношения .
Таким образом, получается, что отклонения планеты от ее среднего положения будут различными и взаимозависимыми, поэтому при расчете орбиты одной из этих величин надо задаться на основании экспериментальных данных.
С целью проверки полу-ченного закона движения найдем закон изменения пло-щадей. Так как элементарная площадь определяется выражением:
,                                                (48)
используя соотношение (36), преобразуем выражение (48) к виду:
,           (49)
взяв интеграл от которого и учитывая, что при , получим следующее выражение:

50)

Подставляя в формулу (50) значение , найденное из выражения (24):
(51)
получим:
,                                                                                   (52)
т.е. площадь, описываемая радиус-вектором, будет пропорциональна времени. Таким образом, закон площадей выполняется. Чтобы найти общую площадь, заключенную внутри орбиты, необходимо в формуле (50) значение у взять равным , что будет соответствовать половине площади, а затем полученный результат удвоить. Имея ввиду, что определяется выражением (47), в итоге получим:
(53)
Общую площадь орбиты можно выразить и другим способом, используя выражение (52). Для этого среднюю скорость движения следует определить из соотношения:
,                                                                            (54)
где - время движения планеты по окружности радиуса .
Тогда формула (52) преобразуется к виду:
,                                                               (55)
откуда получим:
,                                                                            (56)
где - действительное время движения планеты по орбите.
Сравнивая выражения (53) и (56), получим:
,                                          (57)
откуда:
(58)
Из выражения (58) следует, что время движения планеты по средней орбите будет меньше времени движения  по действительной орбите, т.е. искажение круговой орбиты приводит к увеличению времени движения планеты вокруг Солнца.
Полученные нами формулы дают возможность рассчитать орбиты планет в функции угла , отсчитываемого от наименьшего радиуса-вектора, соответствующего перигелию планеты, а также найти соответствующие этим положениям моменты времени. Радиус-вектор планет в зависимости от угла можно определить с помощью выражения (45):
(59)
Преобразуем это выражение:
(60)
Это выражение очень напоминает формулу для эллиптической орбиты, которая обычно представляется в виде:
(61)
Поэтому представляется интересным установить связь между этими двумя формулами. Чтобы это сделать, используем известные минимальное и максимальное расстояние планет от Солнца. Для эллиптической орбиты эти расстояния определяются выражениями:
;                                                                                  (62)
;                                                                                 (63)
где а- большая полуось орбиты, е – эксцентриситет эллипса.
Для нашей орбиты эти расстояния будут равны:
;                                                                             (64)
(65)
Поскольку в приведенных формулах и для рассматриваемых орбит будут одними и теми же, между ними можно установить следующие соответствия:
;                                                                     (66)
(67)
Подставив значение из формулы (66) в формулу (67), найдем выражение для среднего радиуса через параметры эллиптической орбиты:
,                                                                                  (68)
после чего могут быть найдены значения и :
;                                             (69)
(70)
Определим также множитель перед в выражении (60):
,           (71)

после чего выражение (60) приобретает вид:
(72)
Теперь только остается установить соответствие между р и - в формулах (72) и (61). Для этого используем выражение (61), из которого найдем и при и :
;                                                                                              (73)
(74)
Сумма этих расстояний определяет большую ось эллиптической орбиты 2а:
(75)
Отсюда найдем р:
(76)
что в соответствии с формулой (68) представляет средний радиус нашей отбиты.
Таким образом, параметр р представляет собой радиус невозмущенной круговой орбиты, по которой могли бы двигаться планеты. Но это не будет тем средним радиусом, который принимается для эллиптической орбиты равным а/2. При таком среднем радиусе будет равно , а время движения будет точно равно .
Из изложенного следует, что выражения (60) и (61) полностью идентичны друг другу, хотя и получены из разных физических предпосылок. Что касается параметра р, то его физический смысл не был ясен до сих пор. Так, например, в работе [11, с.44], параметр р определяется выражением:
,                                                                                            (77)
где - момент импульса планеты массой m, находящейся на расстоянии r от Солнца и движущейся с касательной скоростью , , где М- масса Солнца, G- гравитационная постоянная.
Из этого выражения понять суть параметра р просто невозможно. Чтобы понять физический смысл параметра р, подставим значение и в выражение (77) и преобразуем его к следующему виду:
(78)
Отсюда получаем соотношение:
(79)
Это соотношение будет выполняться только в двух случаях, когда и , так как при этих значениях р будут уравновешиваться силы инерции и силы притяжения, но время движения планет при этом, как уже отмечалось, будет различным и различными будут их угловые скорости. Действительным значением р будет значение , принимаемое за исходное в нашей теории, как это и следует из сравнения уравнений (60) и (61).
Связь между временем движения планеты и ее положением на орбите в нашем случае определяется выражением (34). В классической механике дается другое  соотношение между ними в параметрической форме [11, с.46]:
;                                                                           (80)
;                                                                             (81)
где , - вспомогательный параметр, называемый эксцентрической аномалией. Выражение (81) называется уравнением Кеплера.
Решая нелинейное уравнение Кеплера для различных моментов времени , находим значение параметра , а по нему- расстояние от планеты до Солнца r. Расчеты по формулам (34) и (79), (80) дают одни и те же результаты. Следовательно, предлагаемое нами решение полностью тождественно существующим формулам, однако, на наш взгляд, физическая сущность нашего решения более наглядна и хорошо объясняет смысл параметра р в выражении (61). Кроме того, величина радиуса средней орбиты планет должна быть другой, что может иметь большой значение для астрономических расчетов. Время движения по средней орбите также не будет равно времени полного обращения и может быть после подстановки выражения (69) в выражение (58) представлено в виде:
,                                                                                              (82)
откуда вытекает следующее соотношение:
,                                                                     (83)
представляющее собой модификацию третьего закона Кеплера.
Таким образом, мы получили закон движения планет, исходя из взаимодействия силы тяготения и центробежной силы инерции, возникающей при их вращении вокруг Солнца. Интересно отметить, что подобная идея была высказана еще в 1666 году современником Ньютона Джованни Борелли [12, с.48], который “заключил, что в движении планет вокруг Солнца... сочетаются “силы стремления друг к другу” и силы их стремления от центра вращения, порождаемые самим вращением.
Если планета оказывается при таком удалении от Солнца, когда благодаря ее скорости центростремительная сила сильнее центробежной, то она переходит с круга большого радиуса на круг с меньшим радиусом и устремляется к месту, где силы должны уравновеситься.
И поскольку, согласно первому закону Галилея, планета при этом сохраняет скорость, с какой она будет падать к Солнцу, то непременно наступит момент, когда центробежная сила преодолеет притяжение Светила, и планета вновь станет удаляться от Солнца, пока не прийдет в первоначальное положение,- такова причина, почему все планеты движутся по эллиптическим орбитам!”
Как уже отмечалось при поступательном движении планет вокруг Солнца все их точки имеют одинаковые скорости, направленные перпендикулярно к радиусу-вектору их центра масс. Поэтому поле скоростей в объеме планет, а значит, и поле кинетической энергии будут однородными, поэтому будут отсутствовать и силы инерции внутри планет, связанные с неоднородностью поля кинетической энергии, и вызываемая ими деформация.
Однако, на планеты действует неоднородное поле тяготения, которое обусловит их деформацию. В учебниках и популярных изданиях об этом почему-то ничего не говорится, а если и говорится, то только о причинах приливов и отливов, в основном, из-за влияния тяготения Луны. Но об этом говорил еще Ньютон триста лет назад.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. На рисунке 5 показано действие сил тяготения со стороны Солнца на плоскую элементарную массу dm планеты, находящейся на расстоянии r от Солнца. На нижнюю и верхнюю части элементарной массы будут действовать разные по величине силы тяготения:
;                                                                               (84)

(85)
Очевидно, что деформация элементарной массы будет определяться разностью этих сил:
(86)
Для определения полной результирующей силы, действующей на весь объем планеты, выражение (86) проинтегрируем по r и по объему тела V, так как при суммировании сил, действующих на элементарные массы dm, эти массы также будут суммироваться:

(87)
где - радиус планеты, - расстояние от центра планеты до Солнца.
Так как изменяется в соответствии с выражением (72) по закону:
,
формула (87) может быть преобразована к виду:
,                                        (88)
где выражение будет равно центробежной силе инерции, действующей на планету на средней окружности:
(89)
Здесь: - угловая скорость движения планеты вокруг Солнца по средней окружности .
В соответствии с этим выражение (88) может быть представлено в виде:
(90)
Если бы планеты не вращались вокруг своей оси, то они были бы постоянно деформированы в радиальном направлении по отношению к Солнцу. Но так как планеты вращаются вокруг своей оси, то характер деформации будет изменяться по их объему, не оставаясь постоянным. Это приводит к тому, что в одном и том же месте планеты она будет то сжиматься, то расширяться, со всеми вытекающими отсюда последствиями: с землетрясениями, передвижениями материков и т. д.
Поскольку деформирующая планету сила все время направлена к Солнцу, диаметр планеты в этом направлении должен быть больше, чем в поперечном направлении. Так, например, обнаружена сплюснутость Земли не только в направлении ее полюсов, но и по экватору [13, с.44]. Наибольший и наименьший радиусы экватора отличаются друг от друга на величину, не превышающую 200 м.
Очевидно, деформации планет будут происходить не только за счет тяготения Солнца, но и за счет влияния других планет и крупных спутников, таких, например, как Луна.