§15. О законе Архимеда

Закон Архимеда относится к законам гидростатики, он был открыт Архимедом (287-212 до. н.э.) более двух тысяч лет назад и с тех пор не изменялся. Закон Архимеда гласит: на погруженное в жидкость тело действует выталкивающая сила, равная по величине весу жидкости в объеме тела.
Для доказательства этого закона используются давления внутри жидкости, создаваемые ее весом в зависимости от высоты столба жидкости (рис. 1):
,                                                                         (1)
где
,                                                                                  (2)
S- площадь основания столба жидкости, - плотность жидкости, g- ускорение силы тяжести.
На верхнюю и нижнюю поверхности погруженного в жидкость тела будут действовать различные силы, определяемые давлениями и и направленные в разные стороны:
;                                                              (3)
,                                                             (4)
где - площадь верхней и нижней поверхностей тела.
Результирующая сила, действующая со стороны жидкости на тело будет равна разности сил и и будет направлена вверх:
,  (5)
где h- высота тела, - объем тела, - масса жидкости в объеме тела.
В общем, на этом можно было бы остановиться. Однако, поскольку мы увязываем все действующие в природе силы с полями кинетической и потенциальной энергий, то и здесь коснемся этого момента. Закон Архимеда является одним из немногих простых случаев, когда не надо искать градиент поля потенциальной энергии, так как он определяется весом столба жидкости в любом ее месте. Здесь наоборот, по этому градиенту можно определить закон изменения потенциальной энергии. Для этого надо проинтегрировать выражение (2) по параметру Z:
,                                (6)
откуда следует, что потенциальная энергия зависит от квадрата Z, т.е. изменяется по параболическому закону, градиент же этого поля, определяемый весом столба жидкости, изменяется по линейному закону.
Когда в жидкость помещается какое-либо тело, то в нем тоже появляется поле потенциальной энергии со своим градиентом, который можно определить следующим образом. К весу жидкости, действующему на верхнюю поверхность тела, надо добавить вес части тела, определяемой координатой :
,    (7)
где - плотность тела.
Давление внутри тела, соответствующее координате , будет равно:
(8)
Как видим градиент и давление внутри тела будут отличаться от градиента и давления внутри жидкости при одном и том же значении Z. Разность этих градиентов определится выражением:
(9)
Максимальное значение разности градиентов соответствует высоте тела h:
,    (10)
где - масса жидкости в объеме тела, - масса тела.
Таким образом, наличие разности градиентов приводит к тому, что на погруженное тело будет действовать выталкивающая сила, равная разности градиентов с отрицательным знаком, т.е. выталкивающая сила будет равна не весу жидкости в объеме тела, а разности весов жидкости и тела. Говоря о том, что выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме тела, мы имеем в виду силу, противодействующую весу тела, но не саму выталкивающую силу. В этом заключается, скажем так, парадокс в понимании сущности закона Архимеда. Это положение можно объяснить тем, что не всегда результирующая сила, равная разности градиентов, будет выталкивающей, так как тяжелое тело () будет тонуть, а не всплывать. И тем не менее на погруженное в жидкость тело все-таки будет действовать выталкивающая сила, равная разности весов жидкости и тела. Но если не разность давлений определяет выталкивающую силу, а разность градиентов, то легкое тело должно выталкиваться при любом его положении в жидкости, в том числе и на дне. Однако, в литературных источниках утверждается, что легкое тело, расположенное на дне сосуда с жидкостью, будет не выталкиваться, а, наоборот, прижиматься ко дну. Мы считаем, что этот вопрос может быть проверен только при правильной постановке эксперимента. Следует также учесть и то, что потенциальная энергия в жидкости обусловлена деформацией ее частиц, в том числе и частиц дна сосуда, на котором лежит тело. Возможно, тело частично экранирует давление жидкости на дно под ним (рис. 2), когда давление в центре может быть будет меньше давления у края . Это обстоятельство может привести к уменьшению выталкивающей силы. Кроме того, в связи с тем, что давление в жидкости по высоте тела будет различным, тело будет деформироваться в поперечном направлении неравномерно по его высоте, в результате чего оно примет вид представленный на рис. 3. Это обстоятельство, наоборот, будет способствовать выталкиванию тела, хотя при малой величине h искажение формы тела будет незначительным.
Для большей наглядности предлагаемого нами метода рассмотрим еще положение легкого тела на поверхности жидкости (рис. 4). В этом случае градиент в жидкости на глубине будет равен:
,                                                                          (11)
а в теле:
,                                                                                   (12)
где - глубина погружения тела при уравновешенном действии сил.
Поскольку тело будет находиться в равновесии, градиенты должны быть равны:
,                                                                   (13)
откуда находим глубину погружения тела :
(14)
Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что закон Архимеда является приближенным, так как он не учитывает деформацию тела в жидкости.