§6. О физической сущности температуры

В бытовом смысле мы все прекрасно понимаем, что такое температура - это степень нагретости того или иного тела: чем больше температура, тем сильнее нагрето тело, чем меньше температура, тем оно холоднее. И температурные градусы тоже не вызывают недоумения, так как понятно, что это условные единицы, служащие для различения степени нагретости тел. А условными мы их считаем потому, что точки замерзания и кипения воды условно приняты за нуль и сто градусов, и тем более, что есть и другие температурные шкалы, например, Фаренгейта. В общем, ситуация, примерно, такая же, как и с единицами времени. Правда, есть еще абсолютная шкала температур, у которой нуль, т.е. начало шкалы, соответствует нулевому объему идеального газа, а экстраполяция экспериментальных данных определяет эту точку, как температуру в минус 273,150С (рис. 1).
Зависимость объема от температуры, как видно, является линейной на большом интервале температур, за исключением небольшого участка около абсолютного нуля. Но и градусы Кельвина тоже выражаются через градусы Цельсия и суть температуры от этого не проясняется. Теперь посмотрим, как современная наука трактует понятие температуры. Для этого приведем цитату из книги “Фейнмановские лекции по физике” [9, с. 255]:
“Средняя кинетическая энергия молекул - это свойство только “температуры”. А будучи свойством “температуры”, а не газа, она может служить определением температуры. Средняя кинетическая энергия молекулы, , таким образом, есть некоторая функция температуры. Но кто нам подскажет, по какой шкале отсчитывать температуру? Мы можем сами определить шкалу температуры так, что средняя энергия будет пропорциональна температуре. Лучше всего для этого назвать “температурой” саму среднюю энергию. Это была бы самая простая функция, но, к несчастью, эту шкалу уже выбрали иначе и вместо того, чтобы назвать энергию молекулы просто “температурой”, используют постоянный множитель, связывающий среднюю энергию молекулы и градус абсолютной температуры, или градус Кельвина. Этот множитель: К=1,3810-23 Дж на каждый градус Кельвина. Таким образом, если абсолютная температура газа равна Т, то средняя кинетическая энергия молекулы равна 3/2 КТ(множитель 3/2 введен только для удобства, благодаря чему исчезнут множители в других формулах).
Заметим, что кинетическая энергия, связанная с составляющей движения в любом направлении, равна только 1/2 КТ. Три независимых направления движения доводят ее до 3/2 КТ”.
Из приведенной цитаты следует, что абсолютная температура Т есть мера средней кинетической энергии молекул газа, поскольку между средней кинетической энергией молекул и температурой установлена математическая зависимость вида:
,                                                                               (1)
где
,                                                                      (2)
а - скорости молекул газа по трем взаимно перпендикулярным направлениям.
Как видим, это определение температуры относится к газам, а не к твердым или жидким материальным объектам, хотя температура у них тоже измеряется. В случае твердых тел говорят, что температура связана с энергией колебаний атомов в кристаллической решетке, как если бы эти атомы были соединены пружинками. Следует сказать, что приведенное определение температуры не удовлетворяет ученых. Поэтому существуют и другие определения понятия температуры, например, через энтропию в виде [10, с. 741]:
,                                                                                    (3)
где Q- энергия тела в целом, S- энтропия. Оказывается, энтропия является единственной сохраняющейся величиной в обратимом процессе.
Понятие энтропии, введенное Клаузиусом(1822-1888), является довольно абстрактным, но оно дало возможность лучше понять сущность тепловых процессов. Приведем цитату из работы [11, с. 83]: “После открытия Клаузиуса стало, наконец, ясно, почему было так трудно понять связь между теплом и температурой. Оказалось, что нельзя говорить о количестве тепла, заключенного в теле. Это понятие просто не имеет смысла. Тепло может переходить в работу, создается при трении, и, вообще, никакой тенденции к сохранению не имеет.
В то же время такой смысл имеет понятие количества тепла, переданного телу или же отнятого от него. Тепло может передаваться, но, вообще говоря, не сохраняется. Сохраняющейся величиной в обратимом процессе оказалась совсем новая величина, о существовании которой никто раньше и не подозревал, - это и была энтропия Клаузиуса.”
Как видим, существует разница между теплом и количеством тепла. Так, теплота характеризует передачу тепловой энергии от одного тела к другому из-за различия их температур. В то же время существует и другое определение количества тепла или тепловой энергии, отличное от приведенного выше [12, с. 561]: “Различие между температурой, теплотой и внутренней энергией можно понять с помощью молекулярно-кинетической теории. Температура является мерой средней кинетической энергии отдельных молекул тела. Тепловая, или внутренняя, энергия тела относится к полной энергии всех молекул тела.(Таким образом, у двух горячих железных брусков одинаковой массы могут быть одинаковые температуры, но тепловая энергия двух брусков будет в два раза больше тепловой энергии одного из них.) Теплота же характеризует передачу энергии(обычно тепловой энергии) от одного тела к другому из-за различия их температур.”
Однако, следует признать, что выяснение разницы между понятиями температуры, тепла и тепловой энергией, не приближает нас к лучшему пониманию сути температуры.
Очевидно, по этой причине используются понятия различных температур [10. с. 741]: температуру, входящую в качестве параметра в распределение Больцмана, называют температурой возбуждения, в распределение Максвелла- кинетической температурой, в формулу Саха - ионизационной температурой. Несомненно, однако, что температура тела зависит от его внутренней энергии, и не просто от общего количества энергии, которое может быть различным в зависимости от объема тел, а от плотности энергии, т.е. энергии, приходящейся на единицу объема тела. Несомненно также, что под внутренней энергией должна пониматься кинетическая энергия, т.е. энергия движения, так как наличие потенциальной энергии не приводит к повышению температуры. Например, сжатая пружина практически не нагревается, при многократной же деформации она нагреется за счет движения входящих в нее микрочастиц. Но каким же образом связано понятие температуры с внутренней кинетической энергией тела? Пропорциональна она этой энергии или нет? Этот вопрос может быть решен только при установлении каких-то новых связей между ними, до сих пор еще не известных, так как уже известные связи этого вопроса не решают. Нужен новый взгляд с какой-то другой стороны на данную проблему, взгляд под другим углом зрения. Попробуем взглянуть на связь энергии и температуры с точки зрения движения материи. Энергия есть свойство движущейся материи, значит, и температура должна быть свойством движения. Для подтверждения этой мысли сравним зависимость скоростей движения среды от различных источников движения и зависимость ее температуры от различных источников тепла, тем более, что дифференциальные уравнения, описывающие эти процессы, одинаковы или мало отличаются друг от друга. Для решения этой проблемы рассмотрим несколько задач из теории теплопроводности.
Первая задача. Рассмотрим нагревание окружающей среды бесконечной пластиной, поддерживаемой при постоянной температуре (рис. 2). Уравнение теплопроводности в этом случае для стационарных условий нагрева будет иметь вид:
,                              (4)
где t- температура, X- линейная координата, отсчитываемая от поверхности пластины.
Решение этого уравнения определяется выражением:
,                    (5)
где - и - постоянные, зависящие от граничных условий:
,                                                                                (6)
где L- расстояние от пластины до границы с нулевым значением температуры.
Используя эти условия, получим:
(7)
откуда:
(8)
Как следует из полученного решения это выражение соответствует линейному закону изменения скорости при движении пластины в ограниченном объеме среды(жидкости).
Однако, при таком решении тепловой задачи не может быть полной аналогии с движением пластины в реальной жидкости, так как не моделируется ее вязкость, от которой зависит характер поля скоростей, возникающего в окружающей среде. Линейная зависимость температуры от отношения характеризует, очевидно, средние свойства среды, отклонение от которых в ту или иную сторону изменяет решение задачи. Отклонения в этих свойствах можно смоделировать, введя в уравнение(4) приток или отток тепла с помощью точечных источников, распределенных по всему объему среды, после чего оно примет вид:
,                                                                            (9)
где q- плотность теплового потока, - коэффициент теплопроводности среды, - коэффициент, характеризующий зависимость теплового потока от координаты Х.
Приведем решение этого уравнения. Первое интегрирование приведет к выражению:
,                                                     (10)
второе даст следующий результат:
,                    (11)
откуда, используя граничные условия(6), получим:
;                                                                                 (12)
;                      (13)
(14)
В окончательном виде решение уравнения(9) будет иметь вид:
(15)
В этом уравнении безразмерный комплекс характеризует влияние источников или стоков тепла на распределение температуры в объеме среды.
Проводя аналогию между распределением температур и скоростей в объеме среды, после замены температуры t на скорость V уравнение(15) можно записать в виде:
,            (16)
где коэффициент характеризует влияние вязкости среды.
Вторая задача. Рассмотрим нагревание цилиндрического проводника, по которому течет ток. Эту задачу можно смоделировать как нагревание тела с помощью распределенных по всему объему источников тепла постоянной плотности (рис. 3). Уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат в этом случае имеет вид:
(17)
Для упрощения решения это уравнение можно преобразовать к виду:
,                                                                                              (18)
где - производная от температуры по радиусу.
Дважды интегрируем уравнение(18):
;                                                                             (19)
;                                                                             (20)
(21)                                                       (21)
Для определения постоянных интегрирования и необходимо задаться граничными условиями. Очевидно, что в середине проводника температура должна иметь конечную величину. Поэтому из выражения(21) следует, что коэффициент будет равен нулю, т. к. . Чтобы иметь возможность провести аналогию с движением потока жидкости по трубе, необходимо считать температуру на поверхности проводника равной нулю:
(22)
Используя это условие, из выражения(21) получим:
,
откуда следует:
.                                                                                          (23)
Тогда решение задачи будет иметь вид:
,                                                                         (24)
где выражение будет характеризовать температуру на оси ци­линдра . Таким образом, окончательное решение задачи примет вид:
,                                                                                (25)
который полностью совпадает с принятым законом распределения скоростей при течении жидкости по трубе:
,                                                                             (26)
которое имеет место при равномерно распределенном по сечению статическом давлении, т. к. q при решении задачи теплопроводности считается постоянным.
Если же давление по сечению потока жидкости будет неравномерным, или вязкость жидкости будет зависеть от скорости движения, поле скоростей будет характеризоваться выражением, отличным от выражения(26). Это условие можно смоделировать и для температурного поля, приняв зависимость теплового потока от координаты r. В этом случае уравнение теплопроводности будет иметь вид:
(27)
Решим это уравнение изложенным выше способом:
;                                                                      (28)
;                                                   (29)
;                                                 (30)
(31)
Как и в предыдущем случае , а определится выражением:
(32)
Окончательное решение задачи будет иметь вид:
(33)
или:
(34)
где

Третья задача. Рассмотрим теперь нагревание окружающей среды телом цилиндрической формы (рис. 4). Уравнение теплопроводности и в этом случае определяется выражением (17), где q будет характеризовать отток тепла постоянной плотности по всему объему среды.
Используя граничные условия:
(35)
получим выражение для температурного поля в окружающей среде:
(36)
Из этого уравнения в качестве частного случая можно получить решение, соответствующее отсутствию стоков тепла, т.е. при q=0:
,                                                      (37)
которое можно преобразовать на случай бесконечного радиуса . По­скольку при логарифмы будут равны отрицательной бесконеч­ности, возникающую неопределенность можно раскрыть с помощью пра­вила Лопиталя, взяв производную от числителя и знаменателя по :
(38)
В выражениях(36) и(38) заменяем температуры скоростями, а без­размерный комплекс буквой , в результате чего получим:
;          (39)
(40)
Выражение(40) соответствует закону изменения скоростей, полученному из уравнений Навье-Стокса [13, с. 82]. Интересно отметить, что решения уравнения теплопроводности, полученные в третьей задаче, могут характеризовать как прямолинейное движение среды параллельно цилиндрическому телу, так и вращательное движение среды за счет вращения цилиндра.
Выражение(39) при может быть преобразовано к виду:
(41)
Решение рассмотренной задачи можно усложнить, считая тепловой поток зависящим от координаты r:
(42)
В этом случае температурное поле определится выражением:
(43)
где
(44)
Заменив t на V, а на , можно получить закон изменения скорости движения частиц среды в зависимости от изменения ее вязкости в функции  координаты r.
Четвертая задача. Рассмотрим температурное поле среды, расположенной между двумя цилиндрическими поверхностями, имеющими разные температуры и (рис. 5). Эта задача будет соответствовать движению среды между двумя вращающимися цилиндрами. Уравнение теплопроводности в этом случае определяется выражением(17), граничные условия имеют вид:
(45)
Решением задачи при q=0 будет выражение:
(46)
которое даст аналогичное выражение для скоростей:
(47)
В приведенных выражениях температура и скорость могут быть как положительными, так и отрицательными.
У Ландау имеется формула для такого случая движения [13, с. 85]:
,                            (48)
которая может быть преобразована к виду:
(49)
На рисунке 6 представлены результаты расчетов по формулам(47) (кривая 1) и(49) (кривая 2). Как видим, кривые 1 и 2 существенно отличаются друг от друга. Поэтому есть смысл усложнить задачу, представив дифференциальное уравнение теплопроводности в виде:
(50)

Решением этого уравнения будет выражение:
(51)
На рисунке 6 результаты расчетов по этой формуле обозначены звездочками, коэффициент представляет безразмерный комплекс . В этом случае кривые хорошо совпадают друг с другом.
Пятая задача. Определим характер температурного поля среды при сферическом источнике тепла (рис. 7). Для того, чтобы температурное поле моделировало поле скоростей при вращении шара вокруг вертикальной оси, распределение температуры на поверхности шара представим выражением:
,                                                                             (52)
соответствующим закону распределения скоростей, температуру же на некотором расстоянии будем считать равной нулю:
(53)
Уравнение теплопроводности в сферических координатах имеет вид:
,                                 (54)
где .
Решим эту задачу с помощью метода интегральных преобразований [14], причем ввиду сложности задачи приведем достаточно подробное решение.
Исключим сперва операцию дифференцирования по , для чего рассмотрим дифференциальное выражение:
,           (55)
для которого:
(56)
;
, так как с=0.
Ядро интегрального преобразования должно удовлетворять уравнению:
,                                                         (57)
которое представляет собой уравнение Лежандра. Преобразуем это уравнение к виду:
(58)
Для этого уравнения имеются собственные значения:
(59)
и ему соответствуют собственные нормированные функции:
,                                                                                      (60)
где - полиномы Лежандра.
Нормирующий делитель и ядро прямого преобразования определяются выражением:
;                                                         (61)
(62)
Осуществив в интервале преобразование с ядром , приведем задачу к виду:
;                                                       (63)
;                                                         (64)
(65)
Интеграл в выражении(64) будет равен нулю для всех значений n>1. Поэтому интеграл будет иметь значение только при n=0 и n=1, т.е. для функций и . Интеграл для функции будет равен нулю, а для функции - 2/3. Поэтому выражение (64) будет иметь вид:
,                                                                     (66)
так как n = 1.
Решением уравнения(63) будет выражение [15, с. 452]:
,                                                                   (67)
где
(68)
При n=1 выражение(67) примет вид:
(69)
Используя граничные условия(66) и(65), найдем постоянные и :
(70)
а затем и значение выражения(69):
(71)
Обратное преобразование выражения(71) определится выражением, соответствующим только одному значению n=1 и :
(72)
При бесконечном значении выражение(72) примет вид:
(73)
Подставив вместо t скорость вращения среды из выражений(72) и(73) найдем законы распределения скоростей:
;                        (74)
(75)
В работе [13, с. 99] для случая вращения шара приводится другое выражение распределения скоростей:
,                        (76)
где -максимальное значение окружной скорости на поверхности шара.
При выражение(76) примет вид:
(77)
Таким образом, выражения для скоростей получились одними и теми же.
Данную задачу можно решить и при наличии стоков тепла. В этом случае уравнение теплопроводности будет иметь вид:
,      (78)
где .
После исключения операции дифференцирования по придем к неоднородному дифференциальному уравнению:
,                                         (79)
где n будет равно единице, как и в предыдущем случае.
Фундаментальная система решений однородного уравнения при n=1 будет [15, с. 148, 452]:
(80)
Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:
(81)
Используя граничные условия(65) и(66), найдем постоянные интегрирования и и решение уравнения(81):
;                           (82)
;                              (83)
;                                          (84)
;  (85)
;  (86)
(87)
(88)
При r =R2 , при будет:
(89)
После обратного преобразования температурное поле определится выражением:
(90)
Заменив температуру скоростью и безразмерное отношение коэффициентом , найдем выражение для скоростей в окружающей среде:
(91)
Рассмотренные задачи показывают, что между характером распределения температуры в теле или в окружающей его среде и движением cреды в аналогичных условиях есть определенная связь. Мы увидели, что при нагревании проводника током характер распределения температуры по его радиусу будет таким же, как и закон распределения скоростей для жидкости, текущей по трубе, причем роль трения в случае нагревания играет охлаждение проводника на его поверхности до нулевой температуры (см. рис. 3). Здесь можно было бы предположить, что при нагревании провода проходящим по нему током, следует иметь в виду движение самого тока, т.е. вакуума и вместе с ним электронов, но как мы показали во втором параграфе распределение скоростей там имеет другой характер. Очевидно, здесь следует искать другую аналогию. Наиболее вероятной причиной такого сходства может являться характер распределения тепловой энергии по сечению проводника, которая передается от участка с большей плотностью энергии, т.е. энергии приходящейся на единицу объема, к участкам с меньшей плотностью энергии.
Так как температура пропорциональна скорости движения, то она должна быть пропорциональна не самой энергии, а квадратному корню из нее.
Но почему тогда из экспериментов и кинетической теории газов следует, что температура пропорциональна самой энергии? Давайте разберемся с этим вопросом.
При нагревании газа при постоянном давлении объем газа будет пропорционален температуре:
,                                                                                           (92)
где - коэффициент пропорциональности, Т- абсолютная температура.
При нагревании газа при постоянном объеме давление в газе тоже будет пропорционально температуре:
,                                                                                           (93)
где - коэффициент пропорциональности.
При изменении и объема и давления экспериментальная связь между ними и температурой имеет вид:
,                                                                                     (94)
где n- число молей, R- универсальная газовая постоянная, равная 8,31441 Дж/моль·К.
Выражение(94) называется законом идеального газа или уравнением состояния идеального газа.
Но вот, что интересно: если взять произведение объема газа V и давления в нем р в соответствии с выражениями(92) и(93), то получим следующее выражение:
,                                                                               (95)
которое отличается от выражения(94).
Поскольку произведение pV характеризует энергию, то и получается, что абсолютная температура будет пропорциональна корню квадратному из энергии:
(96)
так как коэффициенты и являются постоянными величинами.
В кинетической теории газов имеет место та же самая ошибка, так как энергия приравнивается к выражению RT с температурой в первой степени.
Теперь надо выяснить, почему эксперименты не подтверждают такой зависимости, какую мы предполагаем. Предположим, что мы будем замерять температуру с помощью газового термометра постоянного объема (рис. 8). В этом случае температура измеряется по изменению давления, которое может измеряться ртутным манометром. При повышении давления трубка поднимается так, чтобы ртуть снова установилась на уровне метки, тогда разность уровней h будет пропорциональна давлению в термометре, а значит, и температуре в нем. Поскольку объем газа здесь не изменяется, то тепловая энергия идет на повышение давления и будет, следовательно, пропорциональна температуре. Но так, однако, получается только на первый взгляд. Дело в том, что объем газового термометра не будет оставаться постоянным при его нагревании, он хотя и незначительно, но будет увеличиваться за счет объемного расширения материала сосуда, на что будет затрачиваться какая-то часть энергии (на рис. 8 пунктиром показано увеличение объема термометра). Тогда справедливо будет выражение (95), в котором коэффициент объемного расширения материала термометра будет значительно меньше коэффициента , характеризующего повышение давления в газе.
Приведем данные по коэффициентам объемного расширения для различных материалов [12, с. 503]:

Коэффициент найдем с помощью формулы, устанавливающей связь между давлением газа и абсолютной температурой:
,                                                                                          (97)
где n=N/V- концентрация молекул, К- постоянная Больцмана, равная К Дж/К, N- общее число молекул в сосуде, V- объем сосуда.
Пусть в объеме сосуда находится 0,01 моля газа при нормальных условиях, тогда общее число молекул в сосуде будет равно 0,01 от числа Авогадро , равного примерно 1/моль. Тогда в соответствии с формулой (97) коэффициентбудет равен , что значительно больше величины коэффициента .
Теперь посмотрим, к чему приведет такое соотношение коэффициентов для p и V, а также для различных материалов. Запишем уравнения состояния идеального газа для двух различных значений абсолютной температуры и :
;                                                                                     (98)
(99)

Связь между параметрами газа в этих двух положениях можно установить с помощью диаграмм р-Т и V-T, представленных на рисунке 9.
Из приведенных диаграмм следует:
;                     (100)
,                    (101)
где и , а углы и характеризуют наклон кривых на графиках(без учета масштабов).
Возьмем произведение параметров р и V в обоих положениях, а затем найдем их разность:
(102)
(103)
Так как коэффициент, характеризующий объемное расширение материала сосуда газового термометра значительно меньше коэффициента , его можно принять равным нулю, тогда получим:
,                                                    (104)
т.е. изменение энергии будет пропорционально первой степени приращения температуры. Такое же заключение можно будет сделать и для газового термометра, измеряющего температуру при постоянном давлении, так как давление изменяться не будет и уравнения состояния для двух значений температуры будут иметь вид:

где .
Разность этих выражений будет равна:
(105)
Из выражения(105) следует, что изменение объема, а также изменение тепловой энергии при постоянном давлении будет пропорционально первой степени приращения температуры.
Но ведь газовыми термометрами измеряют саму абсолютную температуру, а не ее приращение. Структура формул(104) и(105) позволяет заменить DТ на Т, так как в правой и левой части этих выражений находится одно и то же значение температуры DТ . Умножив обе части равенств(104) и(105) на один и тот же коэффициент Т/DТ, мы перейдем к абсолютным температурам. А можно к DТ прибавить предшествующее значение абсолютной температуры Т1 и получить температуру Т2.
Однако, когда одновременно происходит, скажем так, свободное, не ограничиваемое ничем расширение твердого тела или жидкости при их нагревании, то наряду с процессом расширения происходит и повышение давления в их объеме. В этом случае уже невозможно принимать один из коэффициентов равным нулю и тогда должны будут выполняться соотношения(95) и(96), т.е. абсолютная температура будет пропорциональна корню квадратному от тепловой энергии тела, что и вытекает из рассмотренных нами задач по нагреванию твердых тел и окружающей их среды.
Таким образом, температура характеризуется корнем квадратным из энергии, находящейся в единице объема тела, т.е. плотностью энергии. Поскольку энергия в механическом движении(а только такое движение и есть!) пропорциональна квадрату скорости, то и температура оказывается пропорциональной просто скорости движения.
Но о каком же движении идет речь? Как связано движение материи с энергией, потребляемой или отдаваемой телами при их нагревании или охлаждении? Если считать, как это принято сейчас, что увеличение энергии тел связано с усилением энергии колебательных движений молекул и атомов, то, что тогда представляет собой тепловое излучение тел? Это движение чего? Можно, конечно, сказать, что это движение квантов энергии, но суть от этого нисколько не прояснится, так как не известна сущность этих самых квантов.
Однако можно предложить достаточно простое объяснение физической сущности тепловых процессов. При подводе тепла к телу начинают быстрее вращаться(а не только колебаться) вокруг своих осей все микрочастицы тела за счет увеличения скорости движения частиц вакуума. Это как раз и приводит к увеличению энергии в объеме тела. Кроме того, с увеличением скорости вращения электронов вокруг ядер увеличивается центробежная сила, которая удаляет их от ядер, что и приводит к расширению тел и увеличению их объема. Пример с увеличением объема при превращении воды в лед не может быть опровержением данного положения, так как он связан с перестройкой структуры молекулы.
Вот это увеличение энергии движения частиц вакуума и характеризует повышение температуры тела. Это движение, как и движение потока воды, будет передаваться на соседние области как внутри, так и вне тела, поэтому и ощущается нами тепло нагретого тела без непосредственного контакта с ним. Передача тепла - это и есть взаимодействие потоков частиц вакуума повышенной энергии, т.е. обладающих большой скоростью движения, с микрочастицами и окружающими их частицами вакуума меньшей энергии.
Вполне очевидно, что при этом более нагретое тело охлаждается, менее нагретое - нагревается, а сам процесс может идти только в одну сторону.
Отсюда следует, что делать из этого факта далеко идущие выводы, как, например, о причине направления “течения” времени, нет оснований. Это просто очередное заблуждение, каких было много в истории науки и которые существуют и сейчас.