§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.7

Таким образом, в результате проведенного исследования, мы установили различные способы выражения скоростей движения материальных объектов при их реальном перемещении в пространстве. Естественно, что величины скоростей, определенные различными способами, будут различными. Так, скорости, определяемые выражениями (13) и (16), будут разными. В дальнейшем будет показано, что взаимодействие материальных объектов зависит не от абсолютных их скоростей, а от величины скорости в их относительном движении.
Рассмотрим математическое определение относительной скорости реального движения в пространстве, то есть скорость движения одного материального объекта по отношению к движению другого материального объекта. Для этого достаточно опытным путем установить функциональную зависимость , где x – перемещение одного из материальных объектов, принимаемое за эталонное, y - перемещение другого материального объекта. Перемещения y и x могут происходить в различных местах пространства, в различных направлениях по отношению друг к другу, но, несмотря на это, их взаимная связь может быть представлена графически в прямоугольной системе координат (рис.2). Эту зависимость мы условно можем представить как траекторию некоторой точки, являющейся математической моделью материального объекта, движущейся от начала координат в плоскости x-y. Причем движение в направлении оси x (в горизонтальном направлении) мы будем считать происходящим равномерно, то есть с постоянной скоростью, движение же вдоль оси y, то есть его вертикальная составляющая, будет зависеть от вида функциональной зависимости . Таким образом, траектория точки M будет представлять собой результат двух различных движений, одно из которых (равномерное) следует считать эталонным. Нас будет интересовать скорость движения точки в любом ее положении на траектории движения. Поэтому в качестве начала отсчета для определения скорости мы будем брать ту точку M на траектории движения, скорость в которой нас интересует, то есть от этой точки мы будем измерять перемещение исследуемого и эталонного движений, как это в действительности и происходит при определении скоростей движущихся объектов. Обозначим эти перемещения через и , причем вполне очевидно, что эти перемещения могут быть произвольными в некоторых пределах, допускаемых общей величиной перемещения. От этого будет зависеть только величина средней скорости, определяемой выражением:
(18)
Нас же, как уже отмечалось, интересует мгновенное значение скорости в выбранной точке M. Для нахождения мгновенной скорости мы, очевидно, должны уменьшать интервал , который в пределе должен равняться нулю. В итоге мы придем к выражению (17). В таком виде, конечно, мы его использовать не сможем. Поэтому операция определения скорости движения точки (дифференцирование) должна проводиться уже рассмотренным нами способом: берутся приращения и ,затем берется их отношение, после чего принимается равным нулю, то есть все делается так, как это и принято в современном анализе. Только при этом можно обойтись без понятий предела и бесконечно малой величины.
Однако, здесь следует обратить внимание на следующее обстоятельство. Когда мы берем отношение и затем приравниваем к нулю, мы должны прежде это отношение перемещений преобразовать в скорость, то есть получить новую функциональную зависимость y от x. Иначе при и будет равно нулю, а их отношение даст отношение нулей. Это очень существенный момент. Решить эту проблему можно путем или непосредственного деления на или путем разложения в ряд по целым степеням , например, по биному Ньютона или в ряд Тейлора. Один пример с функцией мы уже рассмотрели. В более общем виде для функции приращение функции:
(19)
можно разложит в следующий ряд Тейлора:
,                 (20)
где - первая, вторая и т.д. производные от функции в точке , - задаваемое приращение аргумента x, - бесконечно малая величина порядка выше n-го, характеризующая погрешность разложения.
Только после такого разложения можно поделить на и получить среднюю скорость движения, которая будет мгновенной при . Поскольку все члены кроме первого будут содержать в себе множитель , который при своем нулевом значении преобразует эти члены в нули, то выходит, что величину производной от функции определяет только первый член разложения приращения функции , и поэтому ее разложение может быть не точным, а приближенным, причем будет достаточно только одного первого члена разложения. Это значительно упрощает задачу дифференцирования функций.
При дифференцировании функций в большинстве случаев удобнее, однако, разлагать в ряд функцию по степеням . Тогда первый член этого разложения будет сокращаться с функцией , а второй определит производную после деления на .
При выполнении операций дифференцирования через отношение приращений функции и аргумента несомненно, что приращение аргумента необходимо принимать точно равным нулю. Утверждение, что только стремится к нулю, ничего, по сути дела, не меняет. Математическая практика показывает, что члены с при вычислении производной отбрасываются не как очень маленькая погрешность, а именно как нулевые величины. Считая, что это действительно так, посмотрим на выражение производной через отношение дифференциалов:

Как уже отмечалось, при это выражение будет определяться отношением нулей, то есть:

Но тогда возникает вопрос: для чего нужно вводить понятие дифференциала? Что это нам дает? Попробуем с этим разобраться. Во-первых, отношение дифференциалов является символическим обозначением мгновенной скорости движения или производной от функции , представляющей зависимость y от x. Во-вторых, такое представление нулей дает возможность показать наличие движения раз есть функциональная зависимость одной величины от другой. Это очень важный момент и очень важная функция, которую выполняют данные обозначения и которая в дальнейшем нам потребуется для обоснования законов механики. Важно показать именно наличие движения, то есть не застывшее мгновение, а непрерывное движение от точки к точке. В-третьих, символы dy и dx удачно используются как символы в интегральном исчислении, ведь обозначение интеграла в виде:
,
является чисто символическим, где dx, как будет показано ниже, является символом нуля. В-четвертых, эти символы могут быть использованы как аналоги приращения функции и аргумента, что дает возможность оставаться все время на символических позициях. Так, например, мы можем умножать и делить математические выражения на dx и dy, считая их конечными величинами, а не нулями. С нулями мы бы не решились так оперировать. Однако, что совсем удивительно, никакой ошибки при этом не возникает. Мы также можем брать дифференциалы от различных величин, а отношение дифференциалов рассматривать как производные. Такая широкая возможность использования дифференциалов как символов нулей делает очень ценным их изобретение. Огромная заслуга Лейбница в этом несомненна. Однако, надо четко понимать истинную сущность этих символов. Непонимание этой сущности привело к тому, что в течение трех столетий математики не имеют достоверного обоснования дифференциального и интегрального исчисления.