§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.5

Ну, и конечно, следует отметить психологическое влияние общепринятого взгляда на время как на особую объективную реальность, как форму существования материи, которую мы еще не познали, а самое главное – отсутствие четкого определения такого важного понятия как движение.
Для лучшего понимания сущности движения рассмотрим его свойства на математических моделях движения. В самом общем виде математическая модель любого движения может быть представлена в виде функциональной зависимости:
,                                                                                            (1)
где аргумент x является математической моделью эталонного движения, которое может быть любым движением, в том числе и временем, y – в общем случае переменная величина, характеризующая рассматриваемое нами движение в виде определенных его свойств, изменяющихся в соответствии с изменением аргумента x. Этими свойствами могут быть перемещение по координате, скорость, какие-то сопутствующие ему явления. В общем, можно сказать, что математическое выражение представляет, по сути дела, сравнение двух движений. То же самое можно сказать и о графическом (геометрическом) представлении этой зависимости. В связи с этим следует отметить, что кривые на графиках не являются моделями траекторий действительного движения в пространстве, так как такие модели могут быть представлены только в пространственных координатах с движущейся точкой, вычерчивающей эту траекторию, что представить в статической форме невозможно, если рассматривать сам процесс движения.
Зависимость является также способом задания движения переменной y путем задания движения аргументу x, то есть эта зависимость будет также и моделью квазидвижения, так как к эталонному движению можно привязать изменение каких-то физических величин, например, массы, объема, температуры и т.п.
Так как функциональная зависимость представляет собой сравнение двух движений в виде изменения их определенных свойств, это обстоятельство можно использовать для выяснения свойств этих движений, выяснив сущность таких математических операций как дифференцирование и интегрирование функций.

В настоящее время существует две версии для объяснения сущности дифференциального и интегрального исчисления. Одна из них, идущая, по сути дела, от основателей математического анализа, использующая понятия предела и бесконечно малой величины, стремящейся к нулю, и другая – использующая так называемые гипердействительные числа и ненулевое выражение бесконечно малой величины. Первая версия относится к классическому анализу, вторая была разработана в 1961

году математиком-логиком Робинсоном и является основой так называемого нестандартного анализа. Наличие двух версий говорит о неблагополучном положении с обоснованием математического анализа, с самим его фундаментом.
В классическом анализе производная от функции определяется посредством выражения:
,                                                                    (2)
где - обозначения производной, - приращение независимой переменной (аргумента) от некоторой точки , - приращение функции, для которой находится производная, и - значения функции в точках и . Таким образом, производная определяется как предел отношения при .
Производная также определяется и отношением:
,                                                                                                              (3)
где dy - дифференциал функции , а - приращение независимого переменного (аргумента) x, причем это обозначение вводится только с целью достигнуть симметрии в записи отношения [12, с.152], однако dx можно также назвать дифференциалом независимой переменной x. Дифференциал же в свою очередь определяется через производную:
.                                                                    (4)

Поскольку , то и дифференциал dy также не должен равняться нулю. Следовательно, производная является отношением конечных величин. Если , дифференциал dy отличается от приращения функции . Разница между ними хорошо видна из рис. 1, где – касательная к кривой в точке

M с координатами и .
Как следует из выражения (2) приращение аргумента (независимой переменной) при взятии производной стремится к нулю, а сама производная является при этом пределом отношения . Приращение функции (см. рис.1) также стремится к нулю. Получается, что производная определяется отношением очень маленьких величин, близких к нулю. Их стали называть бесконечно малыми величинами. Под ними понимаются переменные величины, предел которых равен нулю.
Чтобы лучше понять суть дифференцирования и смысл бесконечно малых величин, рассмотрим дифференцирование одной из простейших функций:
(5)
Сперва задаются приращением аргумента и находят новое значение функции:
,                                                                        (6)
затем вычитая выражение (5) из выражения (6), находят приращение функции :
(7)
Производную определяют с помощью выражения (2):
(8)
Как следует из приведенного выражения для получения производной не принимается во внимание (отбрасывается) или в силу своей малости (и тогда есть некоторая ошибка) или потому что должна равняться нулю. Вся математическая практика показывает, что ошибкой быть не может. Если же , то выражение для производной в пределе получает странный вид:
,                                                                                                 (9)

который у математиков вызывает резкое неприятие. Математики, по мнению А.Н. Колмогорова, считают такое представление вульгарным [13, с.103]. Но тогда какой же смысл заложен в понятии бесконечно малой величины, суть которой заключается в ее стремлении к нулю? Ведь к нулю можно стремиться, но так и не стать нулем. Если же принимается равным нулю, то ему не обязательно быть бесконечно малой величиной, а быть просто любой небольшой конечной величиной. В общем,

статус бесконечно малой величины не совсем ясен, считать же ее просто нулем математики не хотят, так как, по их мнению, это, как уже отмечалось, вульгарно и даже, как утверждает В.А. Успенский, просто не интересно [14, с.9]: «Итак, речь будет идти о бесконечно малых числах. Какое же число следует называть бесконечно малым? Во-первых, конечно, нуль! Но это не интересно – интересно найти бесконечно малое число, не равное нулю (например, положительное)».