§2. О физической сущности времени и движения. Сущность дифференциального и интегрального исчисления. - ч.10

Чтобы лучше понять сущность интегрирования, рассмотрим его геометрический смысл. Интегрирование, как и дифференцирование, устанавливает определенную связь между двумя зависимыми друг от друга величинами. Эту зависимость можно представить графически в прямоугольной системе координат x – y (рис.3).
В соответствии с нашей трактовкой сущности интеграла интегральная связь между величинами y и x будет определяться выражением:
,                                                                             (39)
где функция играет роль скорости, то есть является скоростью в действительном движении или в квазидвижении, то есть квазискоростью, произведение же является действительным или квазиперемещением на интервале , или величиной площади одного заштрихованного прямоугольника с основанием в данной системе координат (элементарная площадка), . Из выражения (39) и рисунка 3 следует, что площадь всех заштрихованных прямоугольников является приближенным значением интеграла. Но не следует думать, что интеграл (39) определяет площадь какой-то действительной поверхности в пространстве. Это не действительная площадь, а квазиплощадь в данной системе координат, поскольку зависимость произвольных физических величин мы графически представляем на плоскости.
Очевидно, что с уменьшением сумма площадей элементарных площадок будет все ближе и ближе приближаться к точному значению площади, ограниченной пределами a и b на рис.3. При этом элементарная площадка будет становиться все меньше и меньше, а число их будет неограниченно возрастать. Но до каких пределов может уменьшаться элементарная площадка? Может ли величина ее площади стать равной нулю? Для выяснения этого вопроса преобразуем выражение (39) следующим образом:

Из выражения (40,a) следует, что площадь всех площадок при будет равна бесконечной сумме нулей, так как при этом число n будет равно бесконечности. При этом бесконечная сумма нулей должна давать конечный результат, равный площади, ограниченной кривой , осью x и ординатами и , соответствующими началу и концу интегрирования, поскольку мы рассматриваем определенный интеграл.
Из выражений (40,b) и (40,c) следует, что при площадь фигуры равна произведению нуля на бесконечность, так как бесконечная сумма конечных значений будет равна бесконечности, то есть тоже получим бесконечную сумму нулей.
И, наконец, из выражения (40,d) следует, что площадь фигуры будет равна произведению разности на среднее значение функции на этом интервале.
Таким образом при и имеем:
для (40,a):

для (40,b,c):

то есть мы получили те же результаты, что и для действительных величин.
Сравнивая выражения (41,a) и (41,b), приходим к выводу, что произведение представляет собой бесконечную сумму нулей. Для того, чтобы понять геометрический смысл этого произведения, обратимся снова к выражению (40,b). Произведение на сумму можно представить геометрически в виде площадки с основанием и ординатой, равной сумме n ординат , при ее вертикальном расположении (рис.4). Площадь заштрихованной фигуры с основанием будет приближенно определять значение интеграла, причем, она будет все ближе приближаться к его точному значению при увеличении числа прямоугольников и, следовательно, с их уменьшением за счет уменьшения . При этом заштрихованная прямоугольная фигура будет становиться тоньше, а ее высота больше. Общая же площадь будет изменяться в меньшей степени, она будет только приближаться к площади криволинейной фигуры, ограниченной пределами a и b. При значениях основание прямоугольной фигуры будет равно нулю, а ее высота – бесконечности, и тем не менее ее площадь не будет равна нулю, а будет точно равна площади, определяемой кривой в указанных границах (заштрихованная криволинейная фигура). Элементарные площадки при этом вырождаются в геометрические линии, не имеющие толщины. Ясно, что сумма ординат, если их расположить по оси x, также образует плоскую фигуру, ограниченную кривой , поскольку площади у них равны. Таким образом, у нас получился неожиданный, но интересный результат. Кстати, математики давно натолкнулись на это свойство интегрирования, но не смогли его осознать. Может быть, этот результат будет яснее, если его представить в другом истолковании: так как при интегрировании задается скорость движения точки (объекта), то величина интеграла определяется площадью фигуры, описанной движущейся ординатой, величина которой изменяется в соответствии с характером подынтегральной функции .
Такое движение ординаты вдоль оси x, представляющей собой заданную скорость, действительную или характеризующую изменение какой-то величины, является равноценным, как мы это показали, суммированию бесконечного числа мгновенных значений ординат, расположенных на оси x, то есть по тому параметру, от которого зависит подынтегральная функция. Отсюда вытекает следствие: при суммировании бесконечного числа ординат, представляющих собой скорость изменения некоторой величины по параметру x, получается сама искомая величина, характеризуемая площадью и представляющая собой, как было показано выше, произведение двух величин – интервала интегрирования и среднего значения скорости, причем размерность этой величины отличается от размерности исходных величин. Это очень важный результат. Его можно перенести и на произведения реальных физических величин, которые можно рассматривать как суммирование одной из этих величин при ее непрерывном изменении по другой величине, принимаемой за аргумент. Может, лучше сказать, что произведение двух любых величин представляет собой в общем случае суммирование мгновенных значений одной из них при непрерывном изменении другой величины (аргумента). Например, произведение силы F, действующей на материальный объект, на перемещение объекта S дает работу, которую можно характеризовать как результат суммирования бесконечного числа мгновенных значений силы по S при непрерывном движении объекта, то есть при непрерывном изменении S. Этот важный вывод нам понадобится в дальнейшем при рассмотрении свойств силы.